OlimpíadasGeometria - círculos tangentes e ângulos Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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Geometria - círculos tangentes e ângulos

Mensagem não lida por Babi123 »

[tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado, [tex3]MN\parallel AB[/tex3] e os círculos são tangentes. Provar que [tex3]\angle ABN=75^{\circ}[/tex3] .
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joaopcarv
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Out 2021 25 19:56

Re: Geometria - círculos tangentes e ângulos

Mensagem não lida por joaopcarv »

Dado que [tex3]\mathsf{\tan(75^\circ) \ = \ \dfrac{\tan(45^\circ) \ + \ \tan(30^\circ)}{1 \ - \ \tan(45^\circ) \cdot \tan(30^\circ)} \ = \ 2 \ + \ \sqrt{3}.}[/tex3]

Seja [tex3]\mathsf{r}[/tex3] o raio do setor circular maior (ou o tamanho do lado do quadrado). Devido às tangências horizontais em [tex3]\mathsf{A}[/tex3] e [tex3]\mathsf{D}[/tex3] , temos que, sendo [tex3]\mathsf{r_1}[/tex3] o raio da semicircunferência [tex3]\mathsf{\lambda_1, \ r_1 \ = \ \dfrac{r}{2}}[/tex3] .

O triângulo [tex3]\mathsf{\triangle ANR}[/tex3] é retângulo em [tex3]\mathsf{R}[/tex3] (centro de [tex3]\mathsf{\lambda_1}[/tex3] ), e, além disso, [tex3]\mathsf{\overline{AN} \ = \ r}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\overline{AR} \ = \ r_1 \ = \ \dfrac{r}{2}}[/tex3] . Logo:

[tex3]\mathsf{r^2 \ = \ \bigg(\dfrac{r}{2}\bigg)^2 \ + \ \Big(\overline{NR}\Big)^2 \ \therefore \ \overline{NR} \ = \ \dfrac{r \cdot \sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Tendo que [tex3]\mathsf{\overline{MN} \ \parallel \ \overline{AB}}[/tex3] , façamos a projeção de [tex3]\mathsf{N}[/tex3] em [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3] . Chamaremos esse ponto de projeção de [tex3]\mathsf{N'}[/tex3] .

Por paralelismo e projeção ortogonal, temos que [tex3]\mathsf{\overline{AN'} \ = \ \overline{RN} \ = \ \dfrac{r \cdot \sqrt{3}}{2}}[/tex3] , e ainda, [tex3]\mathsf{\overline{AB} \ = \ r}[/tex3] . Portanto:

[tex3]\mathsf{\cancelto{\dfrac{r \cdot \sqrt{3}}{2}}{\overline{AN'}} \ + \ \overline{N'B} \ = \ \cancelto{r}{\overline{AB}} \ \therefore \ \overline{N'B} \ = \ \dfrac{r \cdot (2 \ - \ \sqrt{3})}{2}.}[/tex3]

Mais uma vez, por paralelismo, temos que [tex3]\mathsf{\overline{NN'} \ = \ \overline{AR} \ = \ \dfrac{r}{2}.}[/tex3]

Portanto, no triângulo retângulo [tex3]\mathsf{\triangle BNN'}[/tex3] , tem-se que:

[tex3]\mathsf{\tan(\angle ABN) \ = \ \dfrac{\cancelto{\dfrac{\cancel{r}}{\cancel{2}}}{\overline{NN'}}}{\cancelto{\dfrac{\cancel{r} \cdot (2 \ - \ \sqrt{3})}{\cancel{2}}}{\overline{N'B}}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\tan(\angle ABN) \ = \ \dfrac{1}{2 \ - \sqrt{3}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\tan(\angle ABN) \ = \ 2 \ + \ \sqrt{3}}[/tex3] , e, dado que [tex3]\mathsf{\tan(75^\circ) \ = \ 2 \ + \sqrt{3}}[/tex3] , e que [tex3]\mathsf{0 \ < \ \angle ABN \ < \ 90^\circ}[/tex3] , então:

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\angle ABN \ = \ 75^\circ}}}[/tex3]



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Babi123
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Re: Geometria - círculos tangentes e ângulos

Mensagem não lida por Babi123 »

joaopcarv escreveu:
Seg 25 Out, 2021 19:56
Dado que [tex3]\mathsf{\tan(75^\circ) \ = \ \dfrac{\tan(45^\circ) \ + \ \tan(30^\circ)}{1 \ - \ \tan(45^\circ) \cdot \tan(30^\circ)} \ = \ 2 \ + \ \sqrt{3}.}[/tex3]

Seja [tex3]\mathsf{r}[/tex3] o raio do setor circular maior (ou o tamanho do lado do quadrado). Devido às tangências horizontais em [tex3]\mathsf{A}[/tex3] e [tex3]\mathsf{D}[/tex3] , temos que, sendo [tex3]\mathsf{r_1}[/tex3] o raio da semicircunferência [tex3]\mathsf{\lambda_1, \ r_1 \ = \ \dfrac{r}{2}}[/tex3] .

O triângulo [tex3]\mathsf{\triangle ANR}[/tex3] é retângulo em [tex3]\mathsf{R}[/tex3] (centro de [tex3]\mathsf{\lambda_1}[/tex3] ), e, além disso, [tex3]\mathsf{\overline{AN} \ = \ r}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\overline{AR} \ = \ r_1 \ = \ \dfrac{r}{2}}[/tex3] . Logo:

[tex3]\mathsf{r^2 \ = \ \bigg(\dfrac{r}{2}\bigg)^2 \ + \ \Big(\overline{NR}\Big)^2 \ \therefore \ \overline{NR} \ = \ \dfrac{r \cdot \sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Tendo que [tex3]\mathsf{\overline{MN} \ \parallel \ \overline{AB}}[/tex3] , façamos a projeção de [tex3]\mathsf{N}[/tex3] em [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3] . Chamaremos esse ponto de projeção de [tex3]\mathsf{N'}[/tex3] .

Por paralelismo e projeção ortogonal, temos que [tex3]\mathsf{\overline{AN'} \ = \ \overline{RN} \ = \ \dfrac{r \cdot \sqrt{3}}{2}}[/tex3] , e ainda, [tex3]\mathsf{\overline{AB} \ = \ r}[/tex3] . Portanto:

[tex3]\mathsf{\cancelto{\dfrac{r \cdot \sqrt{3}}{2}}{\overline{AN'}} \ + \ \overline{N'B} \ = \ \cancelto{r}{\overline{AB}} \ \therefore \ \overline{N'B} \ = \ \dfrac{r \cdot (2 \ - \ \sqrt{3})}{2}.}[/tex3]

Mais uma vez, por paralelismo, temos que [tex3]\mathsf{\overline{NN'} \ = \ \overline{AR} \ = \ \dfrac{r}{2}.}[/tex3]

Portanto, no triângulo retângulo [tex3]\mathsf{\triangle BNN'}[/tex3] , tem-se que:

[tex3]\mathsf{\tan(\angle ABN) \ = \ \dfrac{\cancelto{\dfrac{\cancel{r}}{\cancel{2}}}{\overline{NN'}}}{\cancelto{\dfrac{\cancel{r} \cdot (2 \ - \ \sqrt{3})}{\cancel{2}}}{\overline{N'B}}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\tan(\angle ABN) \ = \ \dfrac{1}{2 \ - \sqrt{3}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\tan(\angle ABN) \ = \ 2 \ + \ \sqrt{3}}[/tex3] , e, dado que [tex3]\mathsf{\tan(75^\circ) \ = \ 2 \ + \sqrt{3}}[/tex3] , e que [tex3]\mathsf{0 \ < \ \angle ABN \ < \ 90^\circ}[/tex3] , então:

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\angle ABN \ = \ 75^\circ}}}[/tex3]
Obgda :wink:




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