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Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Geometria - círculos e ângulos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Babi123
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Out 2021
28
00:53
Geometria - círculos e ângulos
[tex3]ABCD[/tex3]
é um quadrado e os círculos são tangentes. Determinar a medida do ângulo [tex3]\alpha[/tex3]
.
-
Lonel
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Out 2021
28
16:00
Re: Geometria - círculos e ângulos
Consegui avançar um pouco. Sem perda de generalização, vamos fazer com que o lado do quadrado seja [tex3]1[/tex3]
. Seja a intersecção de [tex3]DF[/tex3]
com [tex3]CG[/tex3]
o ponto [tex3]H[/tex3]
. Devido a simetria do problema, temos que [tex3]H[/tex3]
é colinear com os pontos [tex3]O[/tex3]
e [tex3]E[/tex3]
. Lema: [tex3]H[/tex3]
é o centro da circunferência verde. Prova:
Inicialmente podemos notar que [tex3]FH = GH[/tex3] , pela simetria do problema. A ideia é conseguir provar que o ângulo [tex3]CHF = 2CGF[/tex3] , assim teríamos que [tex3]H[/tex3] apenas pode ser o centro da circunferência verde.
Seja a intersecção da reta [tex3]FG[/tex3] com o lado [tex3]AC[/tex3] o ponto [tex3]K[/tex3] . Pela simetria do problema, ângulo [tex3]GKC[/tex3] é reto. Fazendo o ângulo [tex3]CDF = x[/tex3] , então podemos completar os ângulos e notar que o ângulo [tex3]CGK = x[/tex3] e o ângulo [tex3]CHF = 2x[/tex3] , então de fato [tex3]CHF = 2CGF[/tex3] , o que implica que [tex3]H[/tex3] é o centro da circunferência verde. Seja [tex3]r[/tex3] o raio desta circunferência. Usando pitágoras no triângulo [tex3]DHE[/tex3] , temos que [tex3]ED^2 + EH^2 = HD^2 \rightarrow \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2} + r)^2 = (1 - r)^2[/tex3] , resolvendo temos que [tex3]r = \dfrac{1}{6}[/tex3] .
Imagem para ajudar:
Inicialmente podemos notar que [tex3]FH = GH[/tex3] , pela simetria do problema. A ideia é conseguir provar que o ângulo [tex3]CHF = 2CGF[/tex3] , assim teríamos que [tex3]H[/tex3] apenas pode ser o centro da circunferência verde.
Seja a intersecção da reta [tex3]FG[/tex3] com o lado [tex3]AC[/tex3] o ponto [tex3]K[/tex3] . Pela simetria do problema, ângulo [tex3]GKC[/tex3] é reto. Fazendo o ângulo [tex3]CDF = x[/tex3] , então podemos completar os ângulos e notar que o ângulo [tex3]CGK = x[/tex3] e o ângulo [tex3]CHF = 2x[/tex3] , então de fato [tex3]CHF = 2CGF[/tex3] , o que implica que [tex3]H[/tex3] é o centro da circunferência verde. Seja [tex3]r[/tex3] o raio desta circunferência. Usando pitágoras no triângulo [tex3]DHE[/tex3] , temos que [tex3]ED^2 + EH^2 = HD^2 \rightarrow \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2} + r)^2 = (1 - r)^2[/tex3] , resolvendo temos que [tex3]r = \dfrac{1}{6}[/tex3] .
Imagem para ajudar:
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Lonel
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Out 2021
28
16:52
Re: Geometria - círculos e ângulos
Saiu mais um pouco!
Seja [tex3]M[/tex3] a intersecção da reta tangente ao círculo azul no ponto [tex3]L[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] . Lema: [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AN[/tex3] . Prova:
Temos que o ângulo [tex3]CLM[/tex3] é reto devido as tangentes. Também devido as tangentes, temos que [tex3]ML = MN[/tex3] . A ideia é provar que [tex3]AM = ML[/tex3] , o que implicaria que [tex3]AM = MN[/tex3] , satisfazendo o fato de que [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AN[/tex3] .
Como o triângulo [tex3]CLA[/tex3] é isósceles, chamarei os ângulos [tex3]CLA = LAC = y[/tex3] . Segue que [tex3]ALM = 90 - y[/tex3] e [tex3]LAM = 90 - y[/tex3] , logo o triângulo [tex3]AML[/tex3] é isósceles, implicando que [tex3]AM = ML[/tex3] , como queríamos demonstrar.
Devido a simetria do problema, é fácil perceber que [tex3]N[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , assim [tex3]AM = \dfrac{1}{4}[/tex3] . Utilizando a lei dos senos nos triângulos [tex3]CLA[/tex3] e [tex3]ALM[/tex3] , temos que:
[tex3]\dfrac{AM}{\sin(90 - y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3] e [tex3]\dfrac{AC}{\sin(y)} = \dfrac{AL}{\sin(180 - 2y)}[/tex3] .
Substituindo os valores e simplificando termos, temos que:
[tex3]\dfrac{1}{4\cos(y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3] e [tex3]\dfrac{1}{\sin(y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3]
Fazendo [tex3]AL = AL[/tex3] temos que:
[tex3]\dfrac{\sin(2y)}{4\cos(y)} = \dfrac{\sin(2y)}{\sin(y)}[/tex3]
[tex3]\sin(y) = 4\cos(y)[/tex3]
[tex3]\sin(y)^2 = 16\cos(y)^2[/tex3]
[tex3]1 - \cos(y)^2 = 16\cos(y)^2[/tex3]
[tex3]\cos(y) = \sqrt{\dfrac{1}{15}}[/tex3]
Sabendo quanto vale o raio da circunferência verde, fica trivial calcular os pontos [tex3]F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] . Sabendo o cosseno deste ângulo y, então fica trivial calcular [tex3]L[/tex3] e seu ponto simétrico, e também sai o centro dessa circunferência azul sem muito esforço. Agora eu não faço ideia de como obter informações da circunferência amarela e vermelha sem expandir em um sistema horroroso de equações analíticas.
Figura:
Seja [tex3]M[/tex3] a intersecção da reta tangente ao círculo azul no ponto [tex3]L[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] . Lema: [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AN[/tex3] . Prova:
Temos que o ângulo [tex3]CLM[/tex3] é reto devido as tangentes. Também devido as tangentes, temos que [tex3]ML = MN[/tex3] . A ideia é provar que [tex3]AM = ML[/tex3] , o que implicaria que [tex3]AM = MN[/tex3] , satisfazendo o fato de que [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AN[/tex3] .
Como o triângulo [tex3]CLA[/tex3] é isósceles, chamarei os ângulos [tex3]CLA = LAC = y[/tex3] . Segue que [tex3]ALM = 90 - y[/tex3] e [tex3]LAM = 90 - y[/tex3] , logo o triângulo [tex3]AML[/tex3] é isósceles, implicando que [tex3]AM = ML[/tex3] , como queríamos demonstrar.
Devido a simetria do problema, é fácil perceber que [tex3]N[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , assim [tex3]AM = \dfrac{1}{4}[/tex3] . Utilizando a lei dos senos nos triângulos [tex3]CLA[/tex3] e [tex3]ALM[/tex3] , temos que:
[tex3]\dfrac{AM}{\sin(90 - y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3] e [tex3]\dfrac{AC}{\sin(y)} = \dfrac{AL}{\sin(180 - 2y)}[/tex3] .
Substituindo os valores e simplificando termos, temos que:
[tex3]\dfrac{1}{4\cos(y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3] e [tex3]\dfrac{1}{\sin(y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3]
Fazendo [tex3]AL = AL[/tex3] temos que:
[tex3]\dfrac{\sin(2y)}{4\cos(y)} = \dfrac{\sin(2y)}{\sin(y)}[/tex3]
[tex3]\sin(y) = 4\cos(y)[/tex3]
[tex3]\sin(y)^2 = 16\cos(y)^2[/tex3]
[tex3]1 - \cos(y)^2 = 16\cos(y)^2[/tex3]
[tex3]\cos(y) = \sqrt{\dfrac{1}{15}}[/tex3]
Sabendo quanto vale o raio da circunferência verde, fica trivial calcular os pontos [tex3]F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] . Sabendo o cosseno deste ângulo y, então fica trivial calcular [tex3]L[/tex3] e seu ponto simétrico, e também sai o centro dessa circunferência azul sem muito esforço. Agora eu não faço ideia de como obter informações da circunferência amarela e vermelha sem expandir em um sistema horroroso de equações analíticas.
Figura:
- pt2.png (154 KiB) Exibido 1188 vezes
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geobson
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Fev 2023
18
23:27
Re: Geometria - círculos e ângulos
................up....................................
Fev 2023
19
12:55
Re: Geometria - círculos e ângulos
- 2023_02_19_0li_Kleki.png (43.09 KiB) Exibido 735 vezes
parece que o ponto ali do alfa tá na reta que liga o vértice ao ponto médio
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geobson
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geobson
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Fev 2023
19
15:44
Re: Geometria - círculos e ângulos
leozitz, solução encontrada!
- Anexos
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- IMG_20230219_154316_259.jpg (53.74 KiB) Exibido 725 vezes
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