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Olimpíadas ⇒ Geometria - círculos e ângulos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
28
00:53
Geometria - círculos e ângulos
[tex3]ABCD[/tex3]
é um quadrado e os círculos são tangentes. Determinar a medida do ângulo [tex3]\alpha[/tex3]
.
Out 2021
28
16:00
Re: Geometria - círculos e ângulos
Consegui avançar um pouco. Sem perda de generalização, vamos fazer com que o lado do quadrado seja [tex3]1[/tex3]
. Seja a intersecção de [tex3]DF[/tex3]
com [tex3]CG[/tex3]
o ponto [tex3]H[/tex3]
. Devido a simetria do problema, temos que [tex3]H[/tex3]
é colinear com os pontos [tex3]O[/tex3]
e [tex3]E[/tex3]
. Lema: [tex3]H[/tex3]
é o centro da circunferência verde. Prova:
Inicialmente podemos notar que [tex3]FH = GH[/tex3] , pela simetria do problema. A ideia é conseguir provar que o ângulo [tex3]CHF = 2CGF[/tex3] , assim teríamos que [tex3]H[/tex3] apenas pode ser o centro da circunferência verde.
Seja a intersecção da reta [tex3]FG[/tex3] com o lado [tex3]AC[/tex3] o ponto [tex3]K[/tex3] . Pela simetria do problema, ângulo [tex3]GKC[/tex3] é reto. Fazendo o ângulo [tex3]CDF = x[/tex3] , então podemos completar os ângulos e notar que o ângulo [tex3]CGK = x[/tex3] e o ângulo [tex3]CHF = 2x[/tex3] , então de fato [tex3]CHF = 2CGF[/tex3] , o que implica que [tex3]H[/tex3] é o centro da circunferência verde. Seja [tex3]r[/tex3] o raio desta circunferência. Usando pitágoras no triângulo [tex3]DHE[/tex3] , temos que [tex3]ED^2 + EH^2 = HD^2 \rightarrow \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2} + r)^2 = (1 - r)^2[/tex3] , resolvendo temos que [tex3]r = \dfrac{1}{6}[/tex3] .
Imagem para ajudar:
Inicialmente podemos notar que [tex3]FH = GH[/tex3] , pela simetria do problema. A ideia é conseguir provar que o ângulo [tex3]CHF = 2CGF[/tex3] , assim teríamos que [tex3]H[/tex3] apenas pode ser o centro da circunferência verde.
Seja a intersecção da reta [tex3]FG[/tex3] com o lado [tex3]AC[/tex3] o ponto [tex3]K[/tex3] . Pela simetria do problema, ângulo [tex3]GKC[/tex3] é reto. Fazendo o ângulo [tex3]CDF = x[/tex3] , então podemos completar os ângulos e notar que o ângulo [tex3]CGK = x[/tex3] e o ângulo [tex3]CHF = 2x[/tex3] , então de fato [tex3]CHF = 2CGF[/tex3] , o que implica que [tex3]H[/tex3] é o centro da circunferência verde. Seja [tex3]r[/tex3] o raio desta circunferência. Usando pitágoras no triângulo [tex3]DHE[/tex3] , temos que [tex3]ED^2 + EH^2 = HD^2 \rightarrow \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2} + r)^2 = (1 - r)^2[/tex3] , resolvendo temos que [tex3]r = \dfrac{1}{6}[/tex3] .
Imagem para ajudar:
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Out 2021
28
16:52
Re: Geometria - círculos e ângulos
Saiu mais um pouco!
Seja [tex3]M[/tex3] a intersecção da reta tangente ao círculo azul no ponto [tex3]L[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] . Lema: [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AN[/tex3] . Prova:
Temos que o ângulo [tex3]CLM[/tex3] é reto devido as tangentes. Também devido as tangentes, temos que [tex3]ML = MN[/tex3] . A ideia é provar que [tex3]AM = ML[/tex3] , o que implicaria que [tex3]AM = MN[/tex3] , satisfazendo o fato de que [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AN[/tex3] .
Como o triângulo [tex3]CLA[/tex3] é isósceles, chamarei os ângulos [tex3]CLA = LAC = y[/tex3] . Segue que [tex3]ALM = 90 - y[/tex3] e [tex3]LAM = 90 - y[/tex3] , logo o triângulo [tex3]AML[/tex3] é isósceles, implicando que [tex3]AM = ML[/tex3] , como queríamos demonstrar.
Devido a simetria do problema, é fácil perceber que [tex3]N[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , assim [tex3]AM = \dfrac{1}{4}[/tex3] . Utilizando a lei dos senos nos triângulos [tex3]CLA[/tex3] e [tex3]ALM[/tex3] , temos que:
[tex3]\dfrac{AM}{\sin(90 - y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3] e [tex3]\dfrac{AC}{\sin(y)} = \dfrac{AL}{\sin(180 - 2y)}[/tex3] .
Substituindo os valores e simplificando termos, temos que:
[tex3]\dfrac{1}{4\cos(y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3] e [tex3]\dfrac{1}{\sin(y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3]
Fazendo [tex3]AL = AL[/tex3] temos que:
[tex3]\dfrac{\sin(2y)}{4\cos(y)} = \dfrac{\sin(2y)}{\sin(y)}[/tex3]
[tex3]\sin(y) = 4\cos(y)[/tex3]
[tex3]\sin(y)^2 = 16\cos(y)^2[/tex3]
[tex3]1 - \cos(y)^2 = 16\cos(y)^2[/tex3]
[tex3]\cos(y) = \sqrt{\dfrac{1}{15}}[/tex3]
Sabendo quanto vale o raio da circunferência verde, fica trivial calcular os pontos [tex3]F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] . Sabendo o cosseno deste ângulo y, então fica trivial calcular [tex3]L[/tex3] e seu ponto simétrico, e também sai o centro dessa circunferência azul sem muito esforço. Agora eu não faço ideia de como obter informações da circunferência amarela e vermelha sem expandir em um sistema horroroso de equações analíticas.
Figura:
Seja [tex3]M[/tex3] a intersecção da reta tangente ao círculo azul no ponto [tex3]L[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] . Lema: [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AN[/tex3] . Prova:
Temos que o ângulo [tex3]CLM[/tex3] é reto devido as tangentes. Também devido as tangentes, temos que [tex3]ML = MN[/tex3] . A ideia é provar que [tex3]AM = ML[/tex3] , o que implicaria que [tex3]AM = MN[/tex3] , satisfazendo o fato de que [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AN[/tex3] .
Como o triângulo [tex3]CLA[/tex3] é isósceles, chamarei os ângulos [tex3]CLA = LAC = y[/tex3] . Segue que [tex3]ALM = 90 - y[/tex3] e [tex3]LAM = 90 - y[/tex3] , logo o triângulo [tex3]AML[/tex3] é isósceles, implicando que [tex3]AM = ML[/tex3] , como queríamos demonstrar.
Devido a simetria do problema, é fácil perceber que [tex3]N[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , assim [tex3]AM = \dfrac{1}{4}[/tex3] . Utilizando a lei dos senos nos triângulos [tex3]CLA[/tex3] e [tex3]ALM[/tex3] , temos que:
[tex3]\dfrac{AM}{\sin(90 - y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3] e [tex3]\dfrac{AC}{\sin(y)} = \dfrac{AL}{\sin(180 - 2y)}[/tex3] .
Substituindo os valores e simplificando termos, temos que:
[tex3]\dfrac{1}{4\cos(y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3] e [tex3]\dfrac{1}{\sin(y)} = \dfrac{AL}{\sin(2y)}[/tex3]
Fazendo [tex3]AL = AL[/tex3] temos que:
[tex3]\dfrac{\sin(2y)}{4\cos(y)} = \dfrac{\sin(2y)}{\sin(y)}[/tex3]
[tex3]\sin(y) = 4\cos(y)[/tex3]
[tex3]\sin(y)^2 = 16\cos(y)^2[/tex3]
[tex3]1 - \cos(y)^2 = 16\cos(y)^2[/tex3]
[tex3]\cos(y) = \sqrt{\dfrac{1}{15}}[/tex3]
Sabendo quanto vale o raio da circunferência verde, fica trivial calcular os pontos [tex3]F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] . Sabendo o cosseno deste ângulo y, então fica trivial calcular [tex3]L[/tex3] e seu ponto simétrico, e também sai o centro dessa circunferência azul sem muito esforço. Agora eu não faço ideia de como obter informações da circunferência amarela e vermelha sem expandir em um sistema horroroso de equações analíticas.
Figura:
- pt2.png (154 KiB) Exibido 1165 vezes
Fev 2023
18
23:27
Re: Geometria - círculos e ângulos
................up....................................
Fev 2023
19
12:55
Re: Geometria - círculos e ângulos
- 2023_02_19_0li_Kleki.png (43.09 KiB) Exibido 712 vezes
parece que o ponto ali do alfa tá na reta que liga o vértice ao ponto médio
Fev 2023
19
15:44
Re: Geometria - círculos e ângulos
leozitz, solução encontrada!
- Anexos
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