Olimpíadas ⇒ (Bulgária) Equação Tópico resolvido

[AngelitaB]

Seja p(x) um polinômio do 2°grau tal que p(0)=cos³10°, p(1)=cos10°sen²10° e p(2)=0, então o valor de 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.p(3) é igual a:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

Resposta

---

c

[Tassandro]

AngelitaB,

Por favor, não se esqueça de marcar as soluções de suas questões.

Para essa questão, vou usar a ideia de PA de 2a ordem.

Todo polinônio de k-ésimo grau pode ser entendido como o termo geral de uma progressão aritmética de k-ésima ordem.

Assim, um polinônio do 2° grau é uma PA de 2a ordem (quando aplicado aos números naturais).

Assim, temos uma progressão aritmética de segunda ordem para essa questão, cujo termos [tex3]a_0=\cos^310\degree, a_1=\cos10\degree\sen^210\degree=\cos10\degree-\cos^310\degree, a_2=0[/tex3]

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[tex3]a_0=\cos^310\degree, a_1=\cos10\degree\sen^210\degree=\cos10\degree-\cos^310\degree, a_2=0[/tex3]

Como sabemos, em uma PA de ordem 2, a diferença da diferença entre termos consecutivos é uma constante.
Ou seja,
[tex3](a_3-a_2)-(a_2-a_1)=(a_2-a_1)-(a_1-a_0)\implies\\
a_3=3a_2-3a_1+a_0=\\
3\cos^310\degree-3\cos10\degree+\cos^310\degree=\\
4\cos^310\degree-3\cos10\degree=\cos(3\cdot10\degree)=\cos30\degree[/tex3]

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[tex3](a_3-a_2)-(a_2-a_1)=(a_2-a_1)-(a_1-a_0)\implies\\
a_3=3a_2-3a_1+a_0=\\
3\cos^310\degree-3\cos10\degree+\cos^310\degree=\\
4\cos^310\degree-3\cos10\degree=\cos(3\cdot10\degree)=\cos30\degree[/tex3]

Logo, [tex3]2\sqrt3P(3)=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3[/tex3]

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[tex3]2\sqrt3P(3)=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3[/tex3]

[Tassandro]

Uma solução alternativa mas mais mecânica seria aplicar o teorema interpolador de Lagrange, o que nos dá:

[tex3]P(x)=\cos^310\degree\frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)}+\cos10\degree\cdot\sen^210\degree\frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)}+0\frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)}[/tex3]

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[tex3]P(x)=\cos^310\degree\frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)}+\cos10\degree\cdot\sen^210\degree\frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)}+0\frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)}[/tex3]

Basta fazer [tex3]x=3[/tex3]

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[tex3]x=3[/tex3]

agora