Olimpíadas(Mandelbrot) Equação

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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AngelitaB
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(Mandelbrot) Equação

Mensagem não lida por AngelitaB »

Se [tex3]\alpha 1[/tex3] e [tex3]\alpha 2[/tex3] são as raízes da equação x²-5x-2=0 e [tex3]\theta 1[/tex3] ,[tex3]\theta 2[/tex3] e [tex3]\theta 3[/tex3] são as raízes da equação x³-3x-1=0. Então a soma dos algarismos do valor da exressão ([tex3]\alpha 1 + \theta 1[/tex3] )([tex3]\alpha 1 + \theta 2[/tex3] )([tex3]\alpha 1 + \theta 3[/tex3] )([tex3]\alpha 2 + \theta 1[/tex3] )([tex3]\alpha 2 + \theta 2[/tex3] )([tex3]\alpha 2 + \theta 3[/tex3] ) vale:
a)19
b)17
c)16
d)15
e)14
Resposta

a




Deleted User 23699
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Out 2021 23 21:55

Re: (Mandelbrot) Equação

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

para os três primeiros termos
(a+b)(a+c)(a+d) =
a^3 + a^2 b + a^2 c + a b c + a^2 d + a b d + a c d + b c d
a³ + a²(b+c+d) + a(bd+cd+bc) + bcd
b+c+d = 0
bd+cd+bc = -3
bcd = 1
a³ -3a + 1

por simetria, para os três últimos, vai ficar
e³ - 3e + 1

Agora temos uma expressão em função apenas do 1 polinômio
Sendo alfa(1) = a e alfa(2) = e (agora vou chamar de b)

(a³-3a+1)(b³-3b+1) = a³b³ - 3a³b + a³ - 3ab³ + 9ab - 3a + b³ - 3b + 1
= a³b³-3ab(a²+b²)+9ab-3(a+b)+(a³+b³)+1
Agora tem que usar Girard e Soma de Newton




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Tassandro
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Out 2021 24 10:55

Re: (Mandelbrot) Equação

Mensagem não lida por Tassandro »

Zhadnyy,
AngelitaB,

Uma maneira menos trabalhosa de se chegar a essa conclusão seria por meio do teorema fundamental da álgebra.

Sabemos que

[tex3]P(x)=x^3-3x-1=(x-θ_1)(x-θ_2)(x-θ_3)[/tex3]

Logo, para acharmos a expressão pedida, basta fazer

[tex3]P(-α_1)\cdot P(-α_2)=(-α_1^3+3α_2
1-1)(-α_2^3+3α_2-1)[/tex3]

Sabemos que [tex3]α_1^2-5α_1-2=0\implies\\
α_1^3-5α_1^2-2α=0\implies\\
α_1^3=5α^2+2α[/tex3]
Porém, [tex3]α_1^2=5α+2[/tex3] , logo,
[tex3]α_1^3=5(5α_1+2)+2α_1=27α_1+10[/tex3]

Precedendo de maneira análoga para [tex3]α_2[/tex3] , vem que

[tex3]P(α_1)\cdot P(α_2)=(-24α_1-11)(-24α_2-11)=\\
(24α_1+11)(24α_2+11)=\\
576α_1α_2+264(α_1+α_2)+121=289\\
[/tex3]

Logo, a soma dos algarismos é [tex3]\boxed{\boxed{19}}[/tex3]



Dias de luta, dias de glória.

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