Olimpíadas ⇒ (Americana) Equação Tópico resolvido

[AngelitaB]

Sendo r1, r2 e r3 as raízes da equação x³-x-1=0, calcule .[tex3]\frac{1}{r1^{3}} + \frac{1}{r2^{3}} + \frac{1}{r3^{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{r1^{3}} + \frac{1}{r2^{3}} + \frac{1}{r3^{3}}[/tex3]

.
a)[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

b)2
c)[tex3]\frac{17}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{17}{4}[/tex3]

d)17
e)-[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Resposta

---

b

[Deleted User 23699]

(a+b+c)^3=a³+b³+c³+3(a+b)(b+c)(c+a)
(a+b+c)^3=x+3(a+b+c-c)(a+b+c-a)(a+b+c-b)
Por TRANSFORMADA RECÍPROCA, temos que se r1, r2, r3 são as raízes de x³-x-1, então 1/r1, 1/r2, 1/r3 são as raízes de -x³-x²+1=0
x³+x²-1=0
se a = 1/r1 ; b = 1/r2 ; c = 1/r3
veja que a+b+c = -1
vamos substituir lá na fatoração
(a+b+c)^3=x+3(a+b+c-c)(a+b+c-a)(a+b+c-b)
-1=x+3(-1-c)(-1-a)(-1-b)
-1 = x - 3(1+a)(1+b)(1+c)
x = 3(1+a)(1+b)(1+c) - 1
Agora vou fazer o produto de tudo.
x = 3(1 + a + b + a b + c + a c + b c + a b c) - 1
Mas a gente tem, de Girard, depois da transformada recíproca, que
a+b+c = -1
ab + ac + bc = 0
abc = 1
Então vamos substituir
x = 3(1-1+0+1)-1
x = 2

[Deleted User 23699]

Também deve sair por TEOREMA DE GIRARD, usando derivadas.
Lembrando que o teorema de Girard diz que
p'(x)/p(x) = Somatório de 1/(x-r)
Onde r é cada uma das raízes de p(x)
Se você derivar duas vezes essa expressão inteira (vai ser trabalhoso), você vai obter uma expressão em função de p'''(x), p''(x), p'(x) e p(x) igualada ao somatório de 1/(x-r)^3
Aí você no final só vai precisar substituir x = 0 em tudo que obteve