Olimpíadas ⇒ (Bulgária) Equação

[AngelitaB]

A soma dos algarismos inteiro positivo n solução da equação [tex3]\sqrt{n+(2005)^{2}} + \sqrt{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{n+(2005)^{2}} + \sqrt{n}[/tex3]

=([tex3]\sqrt{2000}+1)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2000}+1)^{2}[/tex3]

é igual a:
a)10
b)11
c)12
d)13
e)14

Resposta

---

e

[AnthonyC]

[tex3]\sqrt{n+(2005)^{2}}+\sqrt{n}=(\sqrt{2000}+1)^{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{n+(2005)^{2}}+\sqrt{n}=(\sqrt{2000}+1)^{2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{n+(2005)^{2}}+\sqrt{n}=2000+2\sqrt{2000}+1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{n+(2005)^{2}}+\sqrt{n}=2000+2\sqrt{2000}+1[/tex3]

[tex3]\sqrt{n+(2005)^{2}}+\sqrt{n}=2001+2\sqrt{2000}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{n+(2005)^{2}}+\sqrt{n}=2001+2\sqrt{2000}[/tex3]

[tex3](\sqrt{n+(2005)^{2}}+\sqrt{n})^2=(2001+2\sqrt{2000})^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\sqrt{n+(2005)^{2}}+\sqrt{n})^2=(2001+2\sqrt{2000})^2[/tex3]

[tex3]n+(2005)^{2}+2\sqrt{n}\sqrt{n+(2005)^{2}}+n=2001^2+8004\sqrt{2000}+8000[/tex3]

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[tex3]n+(2005)^{2}+2\sqrt{n}\sqrt{n+(2005)^{2}}+n=2001^2+8004\sqrt{2000}+8000[/tex3]

[tex3]2n+(2005)^{2}-2001^2-8000-8004\sqrt{2000}=-2\sqrt{n}\sqrt{n+(2005)^{2}}[/tex3]

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[tex3]2n+(2005)^{2}-2001^2-8000-8004\sqrt{2000}=-2\sqrt{n}\sqrt{n+(2005)^{2}}[/tex3]

[tex3]2n+8024-8004\sqrt{2000}=-2\sqrt{n}\sqrt{n+(2005)^{2}}[/tex3]

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[tex3]2n+8024-8004\sqrt{2000}=-2\sqrt{n}\sqrt{n+(2005)^{2}}[/tex3]

[tex3]n+4012-4002\sqrt{2000}=-\sqrt{n}\sqrt{n+(2005)^{2}}[/tex3]

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[tex3]n+4012-4002\sqrt{2000}=-\sqrt{n}\sqrt{n+(2005)^{2}}[/tex3]

[tex3](n+4012-4002\sqrt{2000})^2=n\(n+(2005)^{2}\)[/tex3]

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[tex3](n+4012-4002\sqrt{2000})^2=n\(n+(2005)^{2}\)[/tex3]

[tex3]n^2+4012^2+4002^2\cdot2000+8024n-8004n\sqrt{2000}-2\cdot4012\cdot4002\sqrt{2000}=n^2+2005^2n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n^2+4012^2+4002^2\cdot2000+8024n-8004n\sqrt{2000}-2\cdot4012\cdot4002\sqrt{2000}=n^2+2005^2n[/tex3]

[tex3]4012^2+4002^2\cdot2000+8024n-8004n\sqrt{2000}-2\cdot4012\cdot4002\sqrt{2000}=2005^2n4012^2+4002^2\cdot2000-2\cdot4012\cdot4002\sqrt{2000}=2005^2n-8024n+8004n\sqrt{2000}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4012^2+4002^2\cdot2000+8024n-8004n\sqrt{2000}-2\cdot4012\cdot4002\sqrt{2000}=2005^2n4012^2+4002^2\cdot2000-2\cdot4012\cdot4002\sqrt{2000}=2005^2n-8024n+8004n\sqrt{2000}[/tex3]

[tex3]32048104144-32112048\sqrt{2000}=(4012001+8004\sqrt{2000})n[/tex3]

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[tex3]32048104144-32112048\sqrt{2000}=(4012001+8004\sqrt{2000})n[/tex3]

[tex3]n={32048104144-32112048\sqrt{2000}\over 4012001+8004\sqrt{2000}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n={32048104144-32112048\sqrt{2000}\over 4012001+8004\sqrt{2000}}[/tex3]

Racionalizando a fração:
[tex3]n={16 (8068192221138509 - 481683242820780 \sqrt5)\over15968023992001}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n={16 (8068192221138509 - 481683242820780 \sqrt5)\over15968023992001}[/tex3]

Enfim, essa foi uma maneira não elegante de dizer que tem algum erro no enunciado. Por o resultado acima não é inteiro.