Olimpíadas ⇒ (Aime) Equação

[AngelitaB]

Sejam X1,X2,.....,X7, números reais tais que:
X1+4X2+9X3+16X4+25X5+36X6+49X7=1
4X1+9X2+16X3+25X4+36X5+49X6+64X7=12
9X1+16X2+25X3+36X4+49X5+64X6+81X7=123.
Determinar o valor de 16X1+25X2+36X3+49X4+64X5+81X6+100X7.
a)331
b)332
c)333
d)334
e)335

Resposta

---

d

[FelipeMartin]

como temos 7 incógnitas e 3 equações, não podemos determinar os valores de [tex3]x_1,x_2,...,x_7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1,x_2,...,x_7[/tex3]

.

Vejamos se a expressão pedida pode ser obtida por combinação linear das demais.

Multipliquemos a primeira equação por [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

; a segunda por [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

e a terceira por [tex3]c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c[/tex3]

e somemos as três:

[tex3]\begin{cases}
a+4b+9c=16 \\
4a+9b+16c=25 \\
9a+16b+25c=36
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a+4b+9c=16 \\
4a+9b+16c=25 \\
9a+16b+25c=36
\end{cases}[/tex3]

donde [tex3]a=1, b=-3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=1, b=-3[/tex3]

e [tex3]c=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=3[/tex3]

. Deve-se conferir que de fato esses valores funcionam para os demais coeficientes da equação, por exemplo: [tex3]16a+25b+36c = 49[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16a+25b+36c = 49[/tex3]

funciona.

A resposta final é então:

[tex3]1 \cdot 1 -3 \cdot 12 + 3\cdot 123 = 334[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 \cdot 1 -3 \cdot 12 + 3\cdot 123 = 334[/tex3]

letra d.