- [tex3]x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (Macedônia - 1995) Tópico resolvido
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(Macedônia - 1995)
Sejam [tex3]x,\,y,\,z\,\in \mathbb{R}[/tex3]
e [tex3]x,\,y,\,z\,>0[/tex3]
tais que [tex3]xyz=1[/tex3]
. Prove que:
Última edição: matbatrobin (Dom 08 Mar, 2009 14:58). Total de 1 vez.
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15:36
Re: (Macedônia - 1995)
MA-MG:
[tex3]x^2+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{x}[/tex3]
[tex3]y^2+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{y}[/tex3]
[tex3]z^2+\frac{1}{z}\geq 2\sqrt{z}[/tex3]
Somando as três inequações:
[tex3]x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/tex3]
Como [tex3]xyz=1[/tex3] temos:
[tex3]x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/tex3]
[tex3]x^2+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{x}[/tex3]
[tex3]y^2+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{y}[/tex3]
[tex3]z^2+\frac{1}{z}\geq 2\sqrt{z}[/tex3]
Somando as três inequações:
[tex3]x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/tex3]
Como [tex3]xyz=1[/tex3] temos:
[tex3]x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/tex3]
Última edição: triplebig (Dom 08 Mar, 2009 15:36). Total de 1 vez.
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