Olimpíadas(Macedônia - 1995) Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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matbatrobin
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Mar 2009 08 14:58

(Macedônia - 1995)

Mensagem não lida por matbatrobin » Dom 08 Mar, 2009 14:58

Sejam x,\,y,\,z\,\in \mathbb{R} e x,\,y,\,z\,>0 tais que xyz=1. Prove que:
  • x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})

Última edição: matbatrobin (Dom 08 Mar, 2009 14:58). Total de 1 vez.



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triplebig
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Mar 2009 08 15:36

Re: (Macedônia - 1995)

Mensagem não lida por triplebig » Dom 08 Mar, 2009 15:36

MA-MG:

x^2+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{x}

y^2+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{y}

z^2+\frac{1}{z}\geq 2\sqrt{z}

Somando as três inequações:

x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})

Como xyz=1 temos:

x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})

Última edição: triplebig (Dom 08 Mar, 2009 15:36). Total de 1 vez.



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