Olimpíadas ⇒ (Romênia) Trigonometria

[Deleted User 23699]

Sabendo que a, b, c, d, x e y são números reais não nulos, determine o valor máximo da expressão

[tex3]f(x,y)=\frac{(a+bsenx)^2+(c+dseny)^2+(a+bcosx)^2+(c+dcosy)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\frac{(a+bsenx)^2+(c+dseny)^2+(a+bcosx)^2+(c+dcosy)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}[/tex3]

Resposta

---

3
Eu abri tudo e já fui maximizando o que podia:
[tex3][a^2+b^2+c^2+d^2+2ab(senx+cosx)+2cd(seny+cosy)]/(a^2+b^2+c^2+d^2)\\[/tex3]

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[tex3][a^2+b^2+c^2+d^2+2ab(senx+cosx)+2cd(seny+cosy)]/(a^2+b^2+c^2+d^2)\\[/tex3]

[tex3]1+2\sqrt{2}\left(\frac{ab+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)[/tex3]

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[tex3]1+2\sqrt{2}\left(\frac{ab+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)[/tex3]

Não consegui sair daí. Quando joguei no Wolfram, ele até me deu uns valores de "Global maximum", mas não sei muito bem.
Não sei se a questão está errada (se deveria ter fornecido mais dados) ou se eu errei ao maximizar cedo demais.

Jogando a função direto no Wolfram, ele deu "no global maxima found"

É um limite da plataforma ou um erro da expressão?

[rcompany]

[tex3]
\begin{align}
f(x,y)&=\dfrac{(a+b\sin x)^2+(a+b\cos x)^2+(c+d\sin y)^2+(c+d\cos y)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}\\
&=\dfrac{2a^2+b^2+2ab(\sin x+\cos x)+2c^2+d^2+2cd(\sin y+\cos y)}{a^2+b^2+c^2+d^2}\\[6pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=\dfrac{2ab(\cos x-\sin x)}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\dfrac{2ab}{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})\\[6pt]

\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=\dfrac{2cd(\cos y-\sin y)}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\dfrac{2cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{2}\cos(y+\frac{\pi}{4})\\[6pt]

\end{align}\\[72pt]
\nabla f(x,y)=(0,0)\implies \left\{\begin{array}{}\cos(x+\dfrac{\pi}{4})=0\\\cos(y+\dfrac{\pi}{4})=0
\end{array}\right.\implies \left\{\begin{array}{}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\y=\dfrac{\pi}{4}+k'\pi\end{array}\right.k,k'\in\mathbb{Z}\\
\text{e }\forall (x_0,y_0)\text{ ponto crítico de }f:\\
f(x_0,y_0)=\dfrac{2(a+\dfrac{b}{\sqrt{2}})^2+2(c+\dfrac{d}{\sqrt{2}})^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}=1+\dfrac{a^2+c^2+2\sqrt{2}(ab+cd)}{a^2+b^2+c^2+d^2}\\[12pt]
\text{ou seja, }f\text{ atinge o mesmo valor em todos seus pontos críticos.} \\\text{Portanto se }(x_0,y_0) \text{, ponto crítico, é extremo local, ele é também extremo global de }f.\\[12pt]
\text{Pela formula de Taylor temos a aproximação polinomial de grau 2 de }f(x,y)\text{ na proximidade de }(x_0,y_0):\\
f(x_o+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)\!\!+\!\!h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\!\!+\!\!k\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\!\!+\!\!\frac{1}{2}\left[h^2\dfrac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\!\!+\!\!2hk\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\!\!+\!\!k^2\dfrac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\right]\!\!+\!\!||(h,k)||^2\varepsilon(h,k)\\
\text{com }\!\!\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}\varepsilon(h,k)=0\\
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0\text{ e }\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\dfrac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x,y)=0\\
\text{portanto}\\
\begin{array}{}
f(x_0+h,y_0+k)\!-\!f(x_0,y_0)&=\dfrac{1}{2}\left[h^2\dfrac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\!\!+\!\!k^2\dfrac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\right]\!\!+\!\!||(h,k)||^2\varepsilon(h,k)\\
&=-\dfrac{\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2+d^2}\left[ab\sin(\dfrac{\pi}{2})h^2\!\!+\!\!cd\sin(\dfrac{\pi}{2})k^2\right]\!\!+\!\!||(h,k)||^2\varepsilon(h,k)\\
&=-\dfrac{\sqrt{2}(abh^2+cdk^2)}{a^2+b^2+c^2+d^2}+||(h,k)||^2\varepsilon(h,k)\\
\end{array}\\[48pt]
\bullet \text{ se }ab,cd>0,\ (x_0,y_0)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+k'\pi\right),\,k,k'\in\mathbb{Z}\text{, são máximos globais}\\
\bullet \text{ se }ab,cd<0,\ (x_0;y_0)\text{ são mínimos globais}\\
\bullet \text{ se }ab\text{ e }cd\text{ de sinais diferentes},\ (x_0;y_0)\text{ são pontos de sela}\\
\bullet \text{ já que }a,b,c,d\text{ não são nulos, não tem aberto ao redor de 0 em que }abh^2+cdk^2\text{ é sempre igual a 0}\\
\ \ \text{ portanto }(x_0,y_0)\text{ não são pontos críticos degenerados}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\begin{align}
f(x,y)&=\dfrac{(a+b\sin x)^2+(a+b\cos x)^2+(c+d\sin y)^2+(c+d\cos y)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}\\
&=\dfrac{2a^2+b^2+2ab(\sin x+\cos x)+2c^2+d^2+2cd(\sin y+\cos y)}{a^2+b^2+c^2+d^2}\\[6pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=\dfrac{2ab(\cos x-\sin x)}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\dfrac{2ab}{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})\\[6pt]

\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=\dfrac{2cd(\cos y-\sin y)}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\dfrac{2cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{2}\cos(y+\frac{\pi}{4})\\[6pt]

\end{align}\\[72pt]
\nabla f(x,y)=(0,0)\implies \left\{\begin{array}{}\cos(x+\dfrac{\pi}{4})=0\\\cos(y+\dfrac{\pi}{4})=0
\end{array}\right.\implies \left\{\begin{array}{}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\y=\dfrac{\pi}{4}+k'\pi\end{array}\right.k,k'\in\mathbb{Z}\\
\text{e }\forall (x_0,y_0)\text{ ponto crítico de }f:\\
f(x_0,y_0)=\dfrac{2(a+\dfrac{b}{\sqrt{2}})^2+2(c+\dfrac{d}{\sqrt{2}})^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}=1+\dfrac{a^2+c^2+2\sqrt{2}(ab+cd)}{a^2+b^2+c^2+d^2}\\[12pt]
\text{ou seja, }f\text{ atinge o mesmo valor em todos seus pontos críticos.} \\\text{Portanto se }(x_0,y_0) \text{, ponto crítico, é extremo local, ele é também extremo global de }f.\\[12pt]
\text{Pela formula de Taylor temos a aproximação polinomial de grau 2 de }f(x,y)\text{ na proximidade de }(x_0,y_0):\\
f(x_o+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)\!\!+\!\!h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\!\!+\!\!k\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\!\!+\!\!\frac{1}{2}\left[h^2\dfrac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\!\!+\!\!2hk\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\!\!+\!\!k^2\dfrac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\right]\!\!+\!\!||(h,k)||^2\varepsilon(h,k)\\
\text{com }\!\!\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}\varepsilon(h,k)=0\\
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0\text{ e }\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\dfrac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x,y)=0\\
\text{portanto}\\
\begin{array}{}
f(x_0+h,y_0+k)\!-\!f(x_0,y_0)&=\dfrac{1}{2}\left[h^2\dfrac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\!\!+\!\!k^2\dfrac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\right]\!\!+\!\!||(h,k)||^2\varepsilon(h,k)\\
&=-\dfrac{\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2+d^2}\left[ab\sin(\dfrac{\pi}{2})h^2\!\!+\!\!cd\sin(\dfrac{\pi}{2})k^2\right]\!\!+\!\!||(h,k)||^2\varepsilon(h,k)\\
&=-\dfrac{\sqrt{2}(abh^2+cdk^2)}{a^2+b^2+c^2+d^2}+||(h,k)||^2\varepsilon(h,k)\\
\end{array}\\[48pt]
\bullet \text{ se }ab,cd>0,\ (x_0,y_0)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+k'\pi\right),\,k,k'\in\mathbb{Z}\text{, são máximos globais}\\
\bullet \text{ se }ab,cd<0,\ (x_0;y_0)\text{ são mínimos globais}\\
\bullet \text{ se }ab\text{ e }cd\text{ de sinais diferentes},\ (x_0;y_0)\text{ são pontos de sela}\\
\bullet \text{ já que }a,b,c,d\text{ não são nulos, não tem aberto ao redor de 0 em que }abh^2+cdk^2\text{ é sempre igual a 0}\\
\ \ \text{ portanto }(x_0,y_0)\text{ não são pontos críticos degenerados}
[/tex3]