Olimpíadas(Rússia) Trigonometria Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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(Rússia) Trigonometria

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Sabendo que a solução real da equação

[tex3]6x+8\sqrt{1-x^2}=5(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})[/tex3]
pode ser escrita na forma p/q, onde p e q são números inteiros positivos primos entre si, então o valor de p+q é igual a:
a) 36
b) 49
c) 54
d) 64
e) 72
Resposta

B. Fazendo a substituição x = cos(alpha), cheguei num negócio legal do tipo 3/5cos + 4/5sen = cos
Acredito que tenha feito o desenvolvimento que não era esperado na questão, pois teria que trabalhar com arccos.




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IvanYamasaki
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Re: (Rússia) Trigonometria

Mensagem não lida por IvanYamasaki »

enunciado está errado amigão... do lado direito da expressão os x não deveriam estar ao quadrado, temos:
[tex3]6x+8\sqrt{(1-x)(1+x)}=5(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})[/tex3]

primeiramente, lembre-se que [tex3]\begin{cases}
cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1\rightarrow \sqrt{1+cos2\alpha}=\sqrt{2}cos\alpha
\\
cos2\alpha = 1-2sen^2\alpha \rightarrow \sqrt{1-cos2\alpha}=\sqrt{2}sen\alpha
\end{cases}[/tex3]

agora vamos começar a brincadeira com a substituição: [tex3]x=cos2\alpha [/tex3]

[tex3]6cos2\alpha+8\sqrt{1-cos2\alpha}\sqrt{1+cos2\alpha}=5(\sqrt{1-cos2\alpha}+\sqrt{1+cos2\alpha})[/tex3]

usando a relação mencionada acima temos:
[tex3]6cos2\alpha+8\sqrt{2}sen\alpha\ \sqrt{2}cos\alpha=5(\sqrt{2}sen\alpha+\sqrt{2}cos\alpha)[/tex3]

dividindo tudo por 2:
[tex3]3cos2\alpha+8sen\alpha\ cos\alpha=5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}sen\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha\right)\\
\frac{3}{5}cos2\alpha+\frac{4}{5}sen2\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}sen\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha
[/tex3]

pelo nível da questão, vou considerar que você já imagina meu próximo passo e entenderá sem nenhum desenho de triângulo :D
considerando [tex3]\theta[/tex3] o menor ângulo do triângulo pitagórico:

[tex3]sen\theta\ cos2\alpha+cos\theta \sen2\alpha=sen45\degree cos\alpha + sen\alpha\ cos45\degree
\\
sen(\theta +2\alpha ) = sen(45\degree+\alpha )\\
\alpha = 45\degree-\theta
\\
cos2\alpha = cos(90\degree-2\theta ) = sen2\theta = 2sen\theta\ cos\theta = 2\frac{3}{5}\frac{4}{5}
\\
cos2\alpha = x = \frac{24}{25}
[/tex3]

ele quer a soma, portanto
[tex3]p+q = 24+25 = 49[/tex3]

:mrgreen:

Última edição: IvanYamasaki (Qui 23 Set, 2021 22:03). Total de 1 vez.



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