temos [tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=1 \\
\sqrt{2}(x-y)(1+4xy)=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]
como você bem pontuou, é bem clara que a substituição [tex3](x,y)=(sen\alpha ,cos\alpha ), \alpha \in [0,2\pi][/tex3]
nos será bastante útil, então vamos lá:
[tex3]\sqrt{2}(sen\alpha-cos\alpha)(1+4sen\alpha. cos\alpha)=\sqrt{3}\\
(sen\alpha-cos\alpha)(1+4sen\alpha .cos\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/tex3]
comecemos a mágica separando o segundo fator da seguinte forma:
[tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}=(sen\alpha-cos\alpha)( 4(1+sen\alpha.cos\alpha)-3)\\
\sqrt{\frac{3}{2}}=4(sen\alpha-cos\alpha)(1+sen\alpha.cos\alpha) -3(sen\alpha-cos\alpha)\\
[/tex3]
note que podemos reescrever o [tex3]1[/tex3]
da seguinte maneira: [tex3]1 = sen^2\alpha+cos^2\alpha[/tex3]
:
[tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}=4(sen\alpha-cos\alpha)(sen²\alpha+sen\alpha.cos\alpha+cos^2\alpha) -3(sen\alpha-cos\alpha)
[/tex3]
vaja lá que top! apareceu uma fatoração bastante conhecida...
[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}=4(sen^3\alpha-cos^3\alpha)-3(sen\alpha-cos\alpha)\\
\sqrt{\frac{3}{2}}=4sen^3\alpha - 4cos^3\alpha-3sen\alpha+3cos\alpha
[/tex3]
seus olhos têm que brilhar com esse resultado lindo!
basta lembrar que [tex3]\begin{cases}
sen3\alpha = 3sen\alpha - 4sen^3\alpha \\
cos3\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha
\end{cases}[/tex3]
só substituir na maior felicidade:
[tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}=-(sen3\alpha+cos3\alpha)
[/tex3]
agora virou brincadeira de criança
[tex3]-\sqrt{3}=\sqrt{2}(sen3\alpha+cos3\alpha)\\
\frac{\sqrt{2}}{2}sen3\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos3\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\
cos\left(3\alpha -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\begin{cases}
3\alpha -\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6},\frac{17\pi}{6}, \frac{29\pi}{6} \\
3\alpha -\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6},\frac{19\pi}{6} \end{cases}\\
[/tex3]
portanto [tex3]\alpha =\frac{13\pi}{36},\frac{17\pi}{36},\frac{37\pi}{36},\frac{41\pi}{36},\frac{61\pi}{36} [/tex3]
bom, meu resultado não bateu com o seu gabarito, já verifiquei algumas vezes e não vejo erros da minha parte, caso encontre, ficarei feliz em corrigir.
)
