Olimpíadas(MAML) Trigonometria Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Deleted User 23699
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Ago 2021 27 14:59

(MAML) Trigonometria

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Existe uma função polinomial do terceiro grau f(x) = ax³+bx²+cx+d, onde a, b, c e d são números inteiros com a > 0, tal que [tex3]f\left(sen\left(\frac{\pi }{18}\right)\right)=0[/tex3] . encontre o menor valor possível para f(1).

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resposta

C.




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Daleth
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Ago 2021 27 18:42

Re: (MAML) Trigonometria

Mensagem não lida por Daleth »

Eu fiz assim, nao tenho certeza.

para [tex3]f(sen\frac{\pi}{18})[/tex3] :

I) [tex3]a.(sen\frac{\pi}{18})^3+b.(sen\frac{\pi}{18})^2+c.sen\frac{\pi}{18}+d = 0[/tex3]

para [tex3]f(1)[/tex3] :

II) [tex3]a+b+c+d = K[/tex3]

fazendo [tex3]II) - I)[/tex3] :

[tex3]a-a.(sen\frac{\pi}{18})^3+b-b.(sen\frac{\pi}{18})^2+c-c.sen\frac{\pi}{18}+d-d=K-0[/tex3]
[tex3]a[1-(sen\frac{\pi}{18})^3]+b[1-(sen\frac{\pi}{18})^2]+c[1-sen\frac{\pi}{18}]=K[/tex3]

Como a é positivo e maior que zero e queremos o menor valor para a expressão então tomarei a =1. Mas como um teste usarei a,b,c = 1, pois os coeficientes são inteiros:

[tex3]1-(sen\frac{\pi}{18})^3+1-(sen\frac{\pi}{18})^2+1-sen\frac{\pi}{18}=K[/tex3]
[tex3]3-(sen\frac{\pi}{18})^3-(sen\frac{\pi}{18})^2-sen\frac{\pi}{18}=K[/tex3]

porém [tex3]sen\frac{\pi}{18}[/tex3] é um valor já bastante pequeno, e conforme eleva a maiores potência vai ficando cada vez menor. Então eu tenho que [tex3](sen\frac{\pi}{18})^3[/tex3] é praticamente [tex3]0[/tex3] , da mesma forma [tex3](sen\frac{\pi}{18})^2[/tex3] . Então temos:

[tex3]3-0-0-sen\frac{\pi}{18}=K[/tex3]
[tex3]3-sen\frac{\pi}{18}=K[/tex3]

mas já se sabe que [tex3]sen\frac{\pi}{18}[/tex3] é um valor já bastante pequeno, então K é aproximadamente 3.

Se usar b e c negativos a expressão fica negativa e não combina com as alternativas

OBS: Eu resolvi da maneira que resolveria se estivesse na hora da prova, usando carteada, umas roubada, aproximando para chegar no gabarito, no entanto essa não seria a resolução propriamente dita, e também não sei como desenvolver corretamente :D:D:D:D



Os melhores momentos dá vida acontecem no inesperado, no ocasional, nos momentos em que não esperamos que aconteçam.

Paulo Cuba

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undefinied3
4 - Sabe Tudo
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Ago 2021 27 23:13

Re: (MAML) Trigonometria

Mensagem não lida por undefinied3 »

[tex3]\frac{\pi}{18}=\frac{1}{3}\frac{\pi}{6}=x \rightarrow sen(3x)=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]sen(3x)=3sen(x)-4sen^3(x) \rightarrow \frac{1}{2}=3sen(x)-4sen^3(x) \rightarrow 8sen^3(x)-6sen(x)+1=0[/tex3]
[tex3]f(1)=8-6+1=3[/tex3]

É o menor valor possível porque qualquer polinômio [tex3]8ksen^3(x)-6ksen(x)+k[/tex3] , k inteiro, vai satisfazer.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Loreto
2 - Nerd
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Ago 2021 28 00:55

Re: (MAML) Trigonometria

Mensagem não lida por Loreto »

undefinied3 Acho que entendi sua resolução,
Então o importante era achar os coeficientes [tex3]a,b,c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] e depois encontrar o menor valor possível para f(1), visto que todos os coeficientes são inteiros.
[tex3]
8.sen^3(x) - 6.sen(x) + 1 = 0[/tex3]
[tex3]
f(x)= 8x^3 + 0x^2 -6x + 1 [/tex3]

[tex3]f(1) = 8 + 0 - 6 + 1 = 3[/tex3]

Última edição: Loreto (Sáb 28 Ago, 2021 00:57). Total de 1 vez.



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