Olimpíadas ⇒ (Albânia) Trigonometria Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

O valor da expressão

[tex3]\frac{\left[cos^2\left(\frac{3\pi }{11}\right)-sen^2\left(\frac{2\pi }{11}\right)\right]sen\left(\frac{6\pi }{11}\right)}{sen\left(\frac{2\pi }{11}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\left[cos^2\left(\frac{3\pi }{11}\right)-sen^2\left(\frac{2\pi }{11}\right)\right]sen\left(\frac{6\pi }{11}\right)}{sen\left(\frac{2\pi }{11}\right)}[/tex3]

pode ser escrito na forma de uma fração irredutível p/q, onde p e q são números inteiros positivos. Então o valor de p + q vale:

a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9

Resposta

---

C
Eu fiz separei o produto notável, fiz prostaférese nas expressões que sobraram disso e cheguei numa divisão de senos. Entretanto, não fui capaz de fazer a divisão.
[tex3]\frac{sen(10\pi /11)sen^2(6\pi /11)}{sen(2\pi /11)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{sen(10\pi /11)sen^2(6\pi /11)}{sen(2\pi /11)}[/tex3]

[undefinied3]

Você errou alguma coisa, sua expressão não é igual à original.

Fazendo exatamente o que você disse, é pra dar (a parte da diferença de quadrados)
[tex3]4sin(\pi/44)cos(9\pi/44)sin(9\pi/44)cos(\pi/44)=sin(\pi/22)sin(9\pi/22)=sin(\pi / 22)cos(\pi /2 - 9\pi / 22) = sin(\pi/22)cos(\pi / 11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4sin(\pi/44)cos(9\pi/44)sin(9\pi/44)cos(\pi/44)=sin(\pi/22)sin(9\pi/22)=sin(\pi / 22)cos(\pi /2 - 9\pi / 22) = sin(\pi/22)cos(\pi / 11)[/tex3]

Assim:
[tex3]\frac{sin(\pi/22)cos(\pi / 11) sin(6\pi / 11)}{2sin(\pi / 11)cos(\pi / 11)}=\frac{sin(\pi/22)sin(6\pi/11)}{2sin(\pi/11)}=\frac{sin(\pi/22)cos(\pi/22)}{4sin(\pi/22)cos(\pi/22)}=\frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{sin(\pi/22)cos(\pi / 11) sin(6\pi / 11)}{2sin(\pi / 11)cos(\pi / 11)}=\frac{sin(\pi/22)sin(6\pi/11)}{2sin(\pi/11)}=\frac{sin(\pi/22)cos(\pi/22)}{4sin(\pi/22)cos(\pi/22)}=\frac{1}{4}[/tex3]

1+4=5