Olimpíadas(Argentina) Teoria dos números Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Ago 2021 16 13:44

(Argentina) Teoria dos números

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Prove que a progressão aritmética 1, 14, 27, 40, 53, ... contém infinitos termos cuja representação decimal usa exclusivamente o dígito 2.

Eu:
Resposta

Parti de
[tex3]\frac{2.(10^n-1)}{9}=1+13(n-1)[/tex3]
E cheguei numa função do tipo
2.10^n = 117n - 106
Joguei no Geogebra e vi o gráfico das funções. Realmente parecem ficar se cruzando, mas eu não consegui demonstrar isso.




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Deleted User 25040
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Ago 2021 16 15:05

Re: (Argentina) Teoria dos números

Mensagem não lida por Deleted User 25040 »

[tex3]\frac{2(10^k-1)}{9}=22..2 [/tex3] onde o número 2 se repete k vezes
queremos então na verdade provar que existem infinitos pares (m, n) tal que
[tex3]1+13n = \frac{2(10^m-1)}{9}[/tex3]
[tex3]9+9\cdot13n = 2(10^m-1)[/tex3]
[tex3]9+2+9\cdot13n = 2\cdot10^m[/tex3]
agora parece mais fácil deixar n em função de m do que o contrario. então vamos procurar por valores de m que façam.
[tex3]n=\frac{2\cdot10^m-11}{9\cdot13}[/tex3] inteiro
olhando mod 9 vemos que qualquer valor funciona.
agora vamos ver quando [tex3]2\cdot10^m-11\equiv0(\mod13)[/tex3]
[tex3]2\cdot10^m\equiv2(\mod13)\implies10^m\equiv1(\mod13)[/tex3] que acontece quando 12|m (aqui uso a ideia de ordem).
então basta tomar [tex3]n = \frac{2\cdot10^{12a}-11}{9\cdot13}[/tex3] com a inteiro positivo qualquer
[tex3]1+13\(\frac{2\cdot10^{12a}-11}{9\cdot13}\)=1+\frac{2\cdot10^{12a}-11}{9}=\frac{2(10^{12a}-1)}{9}[/tex3]

Última edição: Deleted User 25040 (Seg 16 Ago, 2021 15:06). Total de 1 vez.



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