Olimpíadas

Dizemos que um inteiro positivo n é apocalíptico se ele possui seis divisores positivos cuja soma é igual a 3528 (note que n pode ter mais de seis divisores). Por exemplo, 2012 é apocalíptico, pois seus seis divisores, 1, 2, 4, 503, 1006 e 2012, quando somados, dão 3528. Determine qual é o menor inteiro positivo apocalíptico.

Resposta

1440

sejam [tex3]1=d_1< d_2< ... < d_{k-1}< d_k=n[/tex3] os divisores de n.
digamos que tenhamos achado esse menor número e ele tenha divisores a_1, a_2, ... a_6 que satisfaçam nossa soma, i.e.
[tex3]a_1+a_2+...+a_6=3528[/tex3] note que
[tex3]a_6\leq n[/tex3]
[tex3]a_5\leq d_{k-1}[/tex3]
...
mas podemos limitar esses divisores da seguinte forma
[tex3]d_k\le n[/tex3]
[tex3]d_{k-1}\le\frac n2[/tex3]
os outros podemos limitar melhor também mas eles vão ser claramente menores que n/2
[tex3]n+\frac{5n}{2}>d_k+d_{k-1}+...+d_{k-5}\ge a_6+a_5+...+a_1=3528[/tex3]
[tex3]n+\frac{5n}{2}>3528[/tex3]
[tex3]n > 1008[/tex3] que não ajuda tanto assim, vamos tentar melhorar nosso limite inferior para um divisor
[tex3]n+\frac{n}2+\frac n 3+\frac n4 + \frac n 5 + \frac n 6 \ge 3528\implies n \ge 1440[/tex3]
como ele já mostrou que 2012 é apocalíptico sabemos que [tex3]2012\ge n\ge 1440[/tex3] agora só testar esses valores na mão

obs: depois disso fiquei um tempo sem nada e olhei a resposta, talvez devesse ter testado o 1440 depois de ter limitado mas achei que não seria e não testei, não sei se tem algum jeito bom pra determinar sem testar

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Olá, Anonymous. Tudo bem?

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