Olimpíadas ⇒ Olimpíada de Matemática da Espanha-(1988)

[NigrumCibum]

Mostre que para [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3]

, com [tex3]n\ge 2[/tex3]

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[tex3]n\ge 2[/tex3]

, [tex3]\sum_{r=1}^{n}r\sqrt{\binom{n}{r}}<\sqrt{2^{n-1}n^3}.[/tex3]

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[tex3]\sum_{r=1}^{n}r\sqrt{\binom{n}{r}}<\sqrt{2^{n-1}n^3}.[/tex3]

[Deleted User 25040]

por cauchy:
[tex3]\(\sum_{r=1}^{n}r\sqrt{\binom{n}{r}}\)^2\le(1^2+2^2+...+n^2)\( \sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}\)=(2^n-1)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex3]

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[tex3]\(\sum_{r=1}^{n}r\sqrt{\binom{n}{r}}\)^2\le(1^2+2^2+...+n^2)\( \sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}\)=(2^n-1)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex3]

seria bom se desse para provar
[tex3](2^n-1)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<2^{n-1}n^3[/tex3]

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[tex3](2^n-1)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<2^{n-1}n^3[/tex3]

temos
[tex3](2^n-1)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<2^{n-1}\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}[/tex3]

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[tex3](2^n-1)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<2^{n-1}\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}[/tex3]

sera que [tex3](n+1)(2n+1)\le3n^2[/tex3]

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[tex3](n+1)(2n+1)\le3n^2[/tex3]

para n >= 4 isso já é verdade
agora acho que dá para fazer n = 2 e n = 3 fácil na mão mas daqui a pouco termino de escrever a solução e tento achar algo melhor.

[FelipeMartin]

para [tex3]n=2[/tex3]

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[tex3]n=2[/tex3]

:

[tex3]\sqrt{n} + \sqrt{2n(n-1)} < \sqrt{2^{n-1} n^3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{n} + \sqrt{2n(n-1)} < \sqrt{2^{n-1} n^3}[/tex3]

[tex3]\sqrt2 + 2 < \sqrt{2 \cdot 8} = 4 \iff \sqrt 2 < 2[/tex3]

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[tex3]\sqrt2 + 2 < \sqrt{2 \cdot 8} = 4 \iff \sqrt 2 < 2[/tex3]

vale!

Para [tex3]n=3[/tex3]

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[tex3]n=3[/tex3]

:

[tex3]\sqrt{n} + \sqrt{2n(n-1)} + \sqrt{\frac32 n(n-1)(n-2)} < \sqrt{2^{n-1} n^3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{n} + \sqrt{2n(n-1)} + \sqrt{\frac32 n(n-1)(n-2)} < \sqrt{2^{n-1} n^3}[/tex3]

[tex3]\sqrt3 + 2\sqrt3 + 3 < \sqrt{4 \cdot 27}[/tex3]

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[tex3]\sqrt3 + 2\sqrt3 + 3 < \sqrt{4 \cdot 27}[/tex3]

[tex3]3+3\sqrt3 < 6 \sqrt3 \iff 3 < 3\sqrt3[/tex3]

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[tex3]3+3\sqrt3 < 6 \sqrt3 \iff 3 < 3\sqrt3[/tex3]

vale!