Olimpíadas ⇒ Produtos Notáveis Tópico resolvido
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16:25
Produtos Notáveis
Prove que se [tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0[/tex3]
[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]
, então[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:3002) (Dom 01 Mar, 2009 16:25). Total de 1 vez.
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Mar 2009
01
23:47
Re: Produtos Notáveis
[tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0 \\ \frac{x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0 \\ \, \\ (1) x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]
[tex3]\frac{(y-z)x}{(y-z)^2}+\frac{(z-x)y}{(z-x)^2}+\frac{(x-y)z}{(x-y)^2}=0 \\ (y-z)x(z-x)^2(x-y)^2+(z-x)y(y-z)^2(x-y)^2+(x-y)z(y-z)^2(z-x)^2=0 \\ \, \\ \, \\ (2) (y-z)(z-x)(x-y)[x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(y-z)(z-x)]=0[/tex3]
Como (1)=(2):
[tex3](y-z)(z-x)(x-y)[x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]\,= x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)[/tex3]
[tex3](3)\, (x-y)(y-z)(z-x)=1[/tex3]
Espero que isso seja útil, se ninguém conseguir resolver eu tento depois.
[tex3]\frac{(y-z)x}{(y-z)^2}+\frac{(z-x)y}{(z-x)^2}+\frac{(x-y)z}{(x-y)^2}=0 \\ (y-z)x(z-x)^2(x-y)^2+(z-x)y(y-z)^2(x-y)^2+(x-y)z(y-z)^2(z-x)^2=0 \\ \, \\ \, \\ (2) (y-z)(z-x)(x-y)[x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(y-z)(z-x)]=0[/tex3]
Como (1)=(2):
[tex3](y-z)(z-x)(x-y)[x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]\,= x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)[/tex3]
[tex3](3)\, (x-y)(y-z)(z-x)=1[/tex3]
Espero que isso seja útil, se ninguém conseguir resolver eu tento depois.
Última edição: matbatrobin (Dom 01 Mar, 2009 23:47). Total de 4 vezes.
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Mar 2009
02
00:04
Re: Produtos Notáveis
Uma boa idéia é você substituir:
[tex3]y-z=a\,,\,z-x=b\,,\,x-y=c[/tex3] aí você pode expandir mais pois [tex3]a+b+c=0[/tex3] .
Amanhã vou tentar mais aí coloco.
[tex3]y-z=a\,,\,z-x=b\,,\,x-y=c[/tex3] aí você pode expandir mais pois [tex3]a+b+c=0[/tex3] .
Amanhã vou tentar mais aí coloco.
Última edição: triplebig (Seg 02 Mar, 2009 00:04). Total de 1 vez.
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03
21:38
Re: Produtos Notáveis
Ops acho q voltamos à estaca zero...
Eu obtive o seguinte:
[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]
Aqui tudo bem porem eu fiz o seguinte:
[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)= [x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]abc[/tex3]
aí que ocorreu o erro eu cortei a parte comum, logo dividi por zero dos dois lados oq não está certo.
Eu obtive o seguinte:
[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]
Aqui tudo bem porem eu fiz o seguinte:
[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)= [x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]abc[/tex3]
aí que ocorreu o erro eu cortei a parte comum, logo dividi por zero dos dois lados oq não está certo.
Última edição: matbatrobin (Ter 03 Mar, 2009 21:38). Total de 1 vez.
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Mar 2009
08
17:40
Re: Produtos Notáveis
Aleluia, demorou mas finalmente depois de tantos anos saiu:
[tex3]\begin{cases}y-z=a\\
\vspace{4}\\
z-x=b\\
\vspace{10}\\
x-y=c\end{cases}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\;\Leftright\;xbc+yac+zab=0\,\right\,\boxed{\,I\,}[/tex3]
--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ab[/tex3] :
[tex3]\boxed{II}\,xab^2c+ya^2bc+za^2b^2=0[/tex3]
--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot bc[/tex3] :
[tex3]\boxed{III}\,xb^2c^2+yabc^2+zab^2c=0[/tex3]
--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ac[/tex3] :
[tex3]\boxed{IV}\,xabc^2+ya^2c^2+za^2bc=0[/tex3]
Fazendo [tex3]\boxed{II}+\boxed{III}+\boxed{IV}[/tex3] :
[tex3]xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc(xc+xb+yc+ya+za+zb)=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(x(b+c)+y(c+a)+z(a+b)]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(z-y)x+(x-z)y+(y-x)z]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2=0[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]
[tex3]\begin{cases}y-z=a\\
\vspace{4}\\
z-x=b\\
\vspace{10}\\
x-y=c\end{cases}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\;\Leftright\;xbc+yac+zab=0\,\right\,\boxed{\,I\,}[/tex3]
--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ab[/tex3] :
[tex3]\boxed{II}\,xab^2c+ya^2bc+za^2b^2=0[/tex3]
--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot bc[/tex3] :
[tex3]\boxed{III}\,xb^2c^2+yabc^2+zab^2c=0[/tex3]
--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ac[/tex3] :
[tex3]\boxed{IV}\,xabc^2+ya^2c^2+za^2bc=0[/tex3]
Fazendo [tex3]\boxed{II}+\boxed{III}+\boxed{IV}[/tex3] :
[tex3]xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc(xc+xb+yc+ya+za+zb)=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(x(b+c)+y(c+a)+z(a+b)]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(z-y)x+(x-z)y+(y-x)z]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2=0[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]
Última edição: triplebig (Dom 08 Mar, 2009 17:40). Total de 1 vez.
Jul 2009
08
21:31
Re: Produtos Notáveis
De qual Olimpíada é esse exercício?filipeot escreveu:Prove que se [tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0[/tex3], então
[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]
Última edição: jacobi (Qua 08 Jul, 2009 21:31). Total de 1 vez.
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