Olimpíadas ⇒ Produtos Notáveis Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:3002)]

Prove que se [tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0[/tex3]

, então
[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]

[matbatrobin]

[tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0 \\ \frac{x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0 \\ \, \\ (1) x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0 \\ \frac{x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0 \\ \, \\ (1) x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]

[tex3]\frac{(y-z)x}{(y-z)^2}+\frac{(z-x)y}{(z-x)^2}+\frac{(x-y)z}{(x-y)^2}=0 \\ (y-z)x(z-x)^2(x-y)^2+(z-x)y(y-z)^2(x-y)^2+(x-y)z(y-z)^2(z-x)^2=0 \\ \, \\ \, \\ (2) (y-z)(z-x)(x-y)[x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(y-z)(z-x)]=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(y-z)x}{(y-z)^2}+\frac{(z-x)y}{(z-x)^2}+\frac{(x-y)z}{(x-y)^2}=0 \\ (y-z)x(z-x)^2(x-y)^2+(z-x)y(y-z)^2(x-y)^2+(x-y)z(y-z)^2(z-x)^2=0 \\ \, \\ \, \\ (2) (y-z)(z-x)(x-y)[x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(y-z)(z-x)]=0[/tex3]

Como (1)=(2):

[tex3](y-z)(z-x)(x-y)[x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]\,= x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](y-z)(z-x)(x-y)[x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]\,= x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)[/tex3]

[tex3](3)\, (x-y)(y-z)(z-x)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](3)\, (x-y)(y-z)(z-x)=1[/tex3]

Espero que isso seja útil, se ninguém conseguir resolver eu tento depois.

[triplebig]

Uma boa idéia é você substituir:

[tex3]y-z=a\,,\,z-x=b\,,\,x-y=c[/tex3]

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[tex3]y-z=a\,,\,z-x=b\,,\,x-y=c[/tex3]

aí você pode expandir mais pois [tex3]a+b+c=0[/tex3]

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[tex3]a+b+c=0[/tex3]

.

Amanhã vou tentar mais aí coloco.

[matbatrobin]

Ops acho q voltamos à estaca zero...

Eu obtive o seguinte:

[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]

Aqui tudo bem porem eu fiz o seguinte:

[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)= [x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)= [x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]abc[/tex3]

aí que ocorreu o erro eu cortei a parte comum, logo dividi por zero dos dois lados oq não está certo.

[triplebig]

Aleluia, demorou mas finalmente depois de tantos anos saiu:

[tex3]\begin{cases}y-z=a\\
\vspace{4}\\
z-x=b\\
\vspace{10}\\
x-y=c\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}y-z=a\\
\vspace{4}\\
z-x=b\\
\vspace{10}\\
x-y=c\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\;\Leftright\;xbc+yac+zab=0\,\right\,\boxed{\,I\,}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\;\Leftright\;xbc+yac+zab=0\,\right\,\boxed{\,I\,}[/tex3]

--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ab[/tex3]

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[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ab[/tex3]

:

[tex3]\boxed{II}\,xab^2c+ya^2bc+za^2b^2=0[/tex3]

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[tex3]\boxed{II}\,xab^2c+ya^2bc+za^2b^2=0[/tex3]

--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot bc[/tex3]

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[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot bc[/tex3]

:

[tex3]\boxed{III}\,xb^2c^2+yabc^2+zab^2c=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{III}\,xb^2c^2+yabc^2+zab^2c=0[/tex3]

--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ac[/tex3]

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[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ac[/tex3]

:

[tex3]\boxed{IV}\,xabc^2+ya^2c^2+za^2bc=0[/tex3]

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[tex3]\boxed{IV}\,xabc^2+ya^2c^2+za^2bc=0[/tex3]

Fazendo [tex3]\boxed{II}+\boxed{III}+\boxed{IV}[/tex3]

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[tex3]\boxed{II}+\boxed{III}+\boxed{IV}[/tex3]

:

[tex3]xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc(xc+xb+yc+ya+za+zb)=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(x(b+c)+y(c+a)+z(a+b)]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(z-y)x+(x-z)y+(y-x)z]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc(xc+xb+yc+ya+za+zb)=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(x(b+c)+y(c+a)+z(a+b)]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(z-y)x+(x-z)y+(y-x)z]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2=0[/tex3]

[tex3]\therefore \frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]

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[tex3]\therefore \frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]

[jacobi]

Prove que se [tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0[/tex3]

, então
[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]

De qual Olimpíada é esse exercício?

[luiseduardo]

caramba ... realmente eu me assutei só de olhar