OlimpíadasProdutos Notáveis Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:3002)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Mar 2009 01 16:25

Produtos Notáveis

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:3002) »

Prove que se [tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0[/tex3] , então
[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:3002) (Dom 01 Mar, 2009 16:25). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
matbatrobin
2 - Nerd
Mensagens: 474
Registrado em: Sáb 30 Ago, 2008 14:41
Última visita: 13-12-18
Localização: Brasília-DF
Mar 2009 01 23:47

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por matbatrobin »

[tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0 \\ \frac{x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0 \\ \, \\ (1) x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]

[tex3]\frac{(y-z)x}{(y-z)^2}+\frac{(z-x)y}{(z-x)^2}+\frac{(x-y)z}{(x-y)^2}=0 \\ (y-z)x(z-x)^2(x-y)^2+(z-x)y(y-z)^2(x-y)^2+(x-y)z(y-z)^2(z-x)^2=0 \\ \, \\ \, \\ (2) (y-z)(z-x)(x-y)[x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(y-z)(z-x)]=0[/tex3]

Como (1)=(2):

[tex3](y-z)(z-x)(x-y)[x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]\,= x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)[/tex3]

[tex3](3)\, (x-y)(y-z)(z-x)=1[/tex3]

Espero que isso seja útil, se ninguém conseguir resolver eu tento depois.

Última edição: matbatrobin (Dom 01 Mar, 2009 23:47). Total de 4 vezes.



Avatar do usuário
triplebig
3 - Destaque
Mensagens: 1225
Registrado em: Ter 18 Set, 2007 23:11
Última visita: 02-09-20
Localização: São José dos Campos
Mar 2009 02 00:04

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por triplebig »

Uma boa idéia é você substituir:

[tex3]y-z=a\,,\,z-x=b\,,\,x-y=c[/tex3] aí você pode expandir mais pois [tex3]a+b+c=0[/tex3] .

Amanhã vou tentar mais aí coloco.
Última edição: triplebig (Seg 02 Mar, 2009 00:04). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
matbatrobin
2 - Nerd
Mensagens: 474
Registrado em: Sáb 30 Ago, 2008 14:41
Última visita: 13-12-18
Localização: Brasília-DF
Mar 2009 03 21:38

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por matbatrobin »

Ops acho q voltamos à estaca zero...

Eu obtive o seguinte:

[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0[/tex3]

Aqui tudo bem porem eu fiz o seguinte:

[tex3]x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)= [x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]abc[/tex3]

aí que ocorreu o erro eu cortei a parte comum, logo dividi por zero dos dois lados oq não está certo.
Última edição: matbatrobin (Ter 03 Mar, 2009 21:38). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
triplebig
3 - Destaque
Mensagens: 1225
Registrado em: Ter 18 Set, 2007 23:11
Última visita: 02-09-20
Localização: São José dos Campos
Mar 2009 08 17:40

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por triplebig »

Aleluia, demorou mas finalmente depois de tantos anos saiu:

[tex3]\begin{cases}y-z=a\\
\vspace{4}\\
z-x=b\\
\vspace{10}\\
x-y=c\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\;\Leftright\;xbc+yac+zab=0\,\right\,\boxed{\,I\,}[/tex3]

--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ab[/tex3] :

[tex3]\boxed{II}\,xab^2c+ya^2bc+za^2b^2=0[/tex3]

--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot bc[/tex3] :

[tex3]\boxed{III}\,xb^2c^2+yabc^2+zab^2c=0[/tex3]

--[tex3]\boxed{\,I\,}\cdot ac[/tex3] :

[tex3]\boxed{IV}\,xabc^2+ya^2c^2+za^2bc=0[/tex3]

Fazendo [tex3]\boxed{II}+\boxed{III}+\boxed{IV}[/tex3] :

[tex3]xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc(xc+xb+yc+ya+za+zb)=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(x(b+c)+y(c+a)+z(a+b)]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(z-y)x+(x-z)y+(y-x)z]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2=0[/tex3]

[tex3]\therefore \frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]
Última edição: triplebig (Dom 08 Mar, 2009 17:40). Total de 1 vez.



jacobi
3 - Destaque
Mensagens: 1350
Registrado em: Sex 15 Mai, 2009 16:30
Última visita: 07-01-16
Jul 2009 08 21:31

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por jacobi »

filipeot escreveu:Prove que se [tex3]\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0[/tex3] , então
[tex3]\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0[/tex3]
De qual Olimpíada é esse exercício?
Última edição: jacobi (Qua 08 Jul, 2009 21:31). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
luiseduardo
Avançado
Mensagens: 116
Registrado em: Sáb 02 Mai, 2009 18:49
Última visita: 05-12-12
Jul 2009 08 22:17

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por luiseduardo »

caramba ... realmente eu me assutei só de olhar :lol:




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Olimpíadas”