OlimpíadasProdutos Notáveis Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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filipeot
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Mar 2009 01 16:25

Produtos Notáveis

Mensagem não lida por filipeot » Dom 01 Mar, 2009 16:25

Prove que se \frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0, então
\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0

Última edição: filipeot (Dom 01 Mar, 2009 16:25). Total de 1 vez.


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matbatrobin
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Mar 2009 01 23:47

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por matbatrobin » Dom 01 Mar, 2009 23:47

\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0 \\ \frac{x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0 \\  \, \\ (1) x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0

\frac{(y-z)x}{(y-z)^2}+\frac{(z-x)y}{(z-x)^2}+\frac{(x-y)z}{(x-y)^2}=0 \\ (y-z)x(z-x)^2(x-y)^2+(z-x)y(y-z)^2(x-y)^2+(x-y)z(y-z)^2(z-x)^2=0 \\ \, \\ \, \\  (2) (y-z)(z-x)(x-y)[x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(y-z)(z-x)]=0

Como (1)=(2):

(y-z)(z-x)(x-y)[x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]\,=x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)

(3)\, (x-y)(y-z)(z-x)=1

Espero que isso seja útil, se ninguém conseguir resolver eu tento depois.

Última edição: matbatrobin (Dom 01 Mar, 2009 23:47). Total de 4 vezes.



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triplebig
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Mar 2009 02 00:04

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por triplebig » Seg 02 Mar, 2009 00:04

Uma boa idéia é você substituir:

y-z=a\,,\,z-x=b\,,\,x-y=c aí você pode expandir mais pois a+b+c=0 .

Amanhã vou tentar mais aí coloco.
Última edição: triplebig (Seg 02 Mar, 2009 00:04). Total de 1 vez.



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matbatrobin
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Mar 2009 03 21:38

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por matbatrobin » Ter 03 Mar, 2009 21:38

Ops acho q voltamos à estaca zero...

Eu obtive o seguinte:

x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=0

Aqui tudo bem porem eu fiz o seguinte:

x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)=[x(x-y)(z-x)+y(y-z)(x-y)+z(z-x)(y-z)]abc

aí que ocorreu o erro eu cortei a parte comum, logo dividi por zero dos dois lados oq não está certo.
Última edição: matbatrobin (Ter 03 Mar, 2009 21:38). Total de 1 vez.



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triplebig
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Mar 2009 08 17:40

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por triplebig » Dom 08 Mar, 2009 17:40

Aleluia, demorou mas finalmente depois de tantos anos saiu:

\begin{cases}y-z=a\\
\vspace{4}\\
z-x=b\\
\vspace{10}\\
x-y=c\end{cases}

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\;\Leftright\;xbc+yac+zab=0\,\right\,\fbox{\,I\,}

--\fbox{\,I\,}\cdot ab :

\fbox{II}\,xab^2c+ya^2bc+za^2b^2=0

--\fbox{\,I\,}\cdot bc :

\fbox{III}\,xb^2c^2+yabc^2+zab^2c=0

--\fbox{\,I\,}\cdot ac :

\fbox{IV}\,xabc^2+ya^2c^2+za^2bc=0

Fazendo \fbox{II}+\fbox{III}+\fbox{IV} :

xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc(xc+xb+yc+ya+za+zb)=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(x(b+c)+y(c+a)+z(a+b)]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2+abc[(z-y)x+(x-z)y+(y-x)z]=0\\
\vspace{10}\\
\Leftright\;xb^2c^2+ya^2c^2+za^2b^2=0

\therefore \frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0
Última edição: triplebig (Dom 08 Mar, 2009 17:40). Total de 1 vez.



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Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por jacobi » Qua 08 Jul, 2009 21:31

filipeot escreveu:Prove que se \frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0, então
\frac{x}{(y-z)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2}=0
De qual Olimpíada é esse exercício?
Última edição: jacobi (Qua 08 Jul, 2009 21:31). Total de 1 vez.



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luiseduardo
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Jul 2009 08 22:17

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por luiseduardo » Qua 08 Jul, 2009 22:17

caramba ... realmente eu me assutei só de olhar :lol:




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