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Sequência
Enviado: Ter 24 Fev, 2009 13:35
por matbatrobin
O número [tex3]\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2008^2}+\frac{1}{2009^2}}[/tex3]
é racional, escreva-o na forma [tex3]\text{\frac{p}{q}}[/tex3]
, [tex3]\text{p}[/tex3]
e [tex3]\text{q}[/tex3]
inteiros.
Re: Sequência
Enviado: Ter 24 Fev, 2009 14:16
por triplebig
[tex3]\begin{array}{rl}\sum_{n=1}^{2008} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=&\sum_{n=1}^{2008}\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)]^2} }\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\sqrt{\frac{(n^2+n+1)^2}{[n(n+1)]^2}}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{1}{n}\;+\;\sum_{n=1}^{2008}\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&1+\sum_{n=1}^{2007}\frac{1}{n+1}\;+\;\frac{2008}{2009} +\sum_{n=1}^{2007}\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&1+\frac{2008}{2009}\;+\;\sum_{n=1}^{2007}1
\end{array}[/tex3]
Assim o valor do somatório é:
[tex3]1+\frac{2008}{2009}+2007=2008+\frac{2008}{2009}=\frac{2009\cdot2008+2008}{2009}=\frac{2010\cdot2008}{2009}=\frac{2009^2-1}{2009}[/tex3]
Portanto [tex3]p=2009^2-1[/tex3]
e [tex3]q=2009[/tex3]
.
Acho que é isso, falou.