OlimpíadasSequência Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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matbatrobin
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Fev 2009 24 13:35

Sequência

Mensagem não lida por matbatrobin » Ter 24 Fev, 2009 13:35

O número \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2008^2}+\frac{1}{2009^2}} é racional, escreva-o na forma \text{\frac{p}{q}}, \text{p} e \text{q} inteiros.

Última edição: matbatrobin (Ter 24 Fev, 2009 13:35). Total de 1 vez.



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triplebig
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Fev 2009 24 14:16

Re: Sequência

Mensagem não lida por triplebig » Ter 24 Fev, 2009 14:16

\begin{array}{rl}\sum_{n=1}^{2008} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=&\sum_{n=1}^{2008}\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)]^2} }\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\sqrt{\frac{(n^2+n+1)^2}{[n(n+1)]^2}}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{1}{n}\;+\;\sum_{n=1}^{2008}\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&1+\sum_{n=1}^{2007}\frac{1}{n+1}\;+\;\frac{2008}{2009} +\sum_{n=1}^{2007}\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&1+\frac{2008}{2009}\;+\;\sum_{n=1}^{2007}1
\end{array}

Assim o valor do somatório é:

1+\frac{2008}{2009}+2007=2008+\frac{2008}{2009}=\frac{2009\cdot2008+2008}{2009}=\frac{2010\cdot2008}{2009}=\frac{2009^2-1}{2009}

Portanto p=2009^2-1 e q=2009 .

Acho que é isso, falou.

Última edição: triplebig (Ter 24 Fev, 2009 14:16). Total de 1 vez.



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