OlimpíadasSequência Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
matbatrobin
3 - Destaque
Mensagens: 474
Registrado em: Sáb 30 Ago, 2008 14:41
Última visita: 13-12-18
Localização: Brasília-DF
Agradeceu: 2
Agradeceram: 16
Fev 2009 24 13:35

Sequência

Mensagem não lida por matbatrobin » Ter 24 Fev, 2009 13:35

O número \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2008^2}+\frac{1}{2009^2}} é racional, escreva-o na forma \text{\frac{p}{q}}, \text{p} e \text{q} inteiros.

Última edição: matbatrobin (Ter 24 Fev, 2009 13:35). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
triplebig
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1225
Registrado em: Ter 18 Set, 2007 23:11
Última visita: 22-11-18
Localização: São José dos Campos
Agradeceu: 2
Agradeceram: 57
Fev 2009 24 14:16

Re: Sequência

Mensagem não lida por triplebig » Ter 24 Fev, 2009 14:16

\begin{array}{rl}\sum_{n=1}^{2008} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=&\sum_{n=1}^{2008}\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)]^2} }\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\sqrt{\frac{(n^2+n+1)^2}{[n(n+1)]^2}}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&\sum_{n=1}^{2008}\frac{1}{n}\;+\;\sum_{n=1}^{2008}\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&1+\sum_{n=1}^{2007}\frac{1}{n+1}\;+\;\frac{2008}{2009} +\sum_{n=1}^{2007}\frac{n}{n+1}\\
\vspace{9}\\
=&1+\frac{2008}{2009}\;+\;\sum_{n=1}^{2007}1
\end{array}

Assim o valor do somatório é:

1+\frac{2008}{2009}+2007=2008+\frac{2008}{2009}=\frac{2009\cdot2008+2008}{2009}=\frac{2010\cdot2008}{2009}=\frac{2009^2-1}{2009}

Portanto p=2009^2-1 e q=2009 .

Acho que é isso, falou.

Última edição: triplebig (Ter 24 Fev, 2009 14:16). Total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Sequencia dos cubos
    por cicero444 » Sáb 19 Mar, 2016 18:13 » em Ensino Fundamental
    1 Respostas
    757 Exibições
    Última msg por brunoafa
    Dom 22 Mai, 2016 15:18
  • Nova mensagem Sequencia
    por cicero444 » Dom 20 Mar, 2016 20:12 » em Ensino Fundamental
    0 Respostas
    80 Exibições
    Última msg por cicero444
    Dom 20 Mar, 2016 20:12
  • Nova mensagem Sequencia
    por jogurgel » Seg 18 Abr, 2016 14:52 » em Ensino Superior
    0 Respostas
    61 Exibições
    Última msg por jogurgel
    Seg 18 Abr, 2016 14:52
  • Nova mensagem (FEI - 2016) Sequência
    por thamymorgado » Ter 24 Mai, 2016 16:45 » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    579 Exibições
    Última msg por ttbr96
    Qua 25 Mai, 2016 00:30
  • Nova mensagem (Agente Administrativo - Triunfo) Sequência
    por ALDRIN » Seg 08 Ago, 2016 12:27 » em Concursos Públicos
    1 Respostas
    506 Exibições
    Última msg por Auto Excluído (ID:16348)
    Seg 08 Ago, 2016 12:56

Voltar para “Olimpíadas”