- 2.jpg (22.48 KiB) Exibido 1012 vezes
Na verdade me parece que [tex3]B[/tex3] é o incentro do [tex3]\Delta CDE[/tex3] .
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ Pontos Notáveis - Incentro Tópico resolvido
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Babi123
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Jul 2021
03
13:21
Pontos Notáveis - Incentro
[tex3]A[/tex3]
é o centro do círculo em azul. Prove: [tex3]\angle1=\angle2[/tex3]
.
Autor: Stanley Rabinowitz.
Na verdade me parece que [tex3]B[/tex3] é o incentro do [tex3]\Delta CDE[/tex3] .
Na verdade me parece que [tex3]B[/tex3] é o incentro do [tex3]\Delta CDE[/tex3] .
Editado pela última vez por Babi123 em 03 Jul 2021, 13:22, em um total de 1 vez.
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Deleted User 25040
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Jul 2021
03
13:38
Re: Pontos Notáveis - Incentro
defina:
[tex3]\angle ADE=\beta [/tex3] e então [tex3]\angle AED=\beta[/tex3] pq AD = AE já que A é centro.
[tex3]\angle EDB = \varphi[/tex3] como AD = AB então [tex3]\beta + \varphi = \angle ADB=\angle ABD [/tex3] .
agora olhando para circunferência em vermelho [tex3]\beta=\angle AED=\angle ACD[/tex3] .
por angulo externo [tex3]\angle ABD = \beta + \varphi = \beta + \angle BDC\implies \angle BDC=\varphi[/tex3] e então, na notação do enunciado [tex3]\angle1 = \angle 2[/tex3] .
[tex3]\angle ADE=\beta [/tex3] e então [tex3]\angle AED=\beta[/tex3] pq AD = AE já que A é centro.
[tex3]\angle EDB = \varphi[/tex3] como AD = AB então [tex3]\beta + \varphi = \angle ADB=\angle ABD [/tex3] .
agora olhando para circunferência em vermelho [tex3]\beta=\angle AED=\angle ACD[/tex3] .
por angulo externo [tex3]\angle ABD = \beta + \varphi = \beta + \angle BDC\implies \angle BDC=\varphi[/tex3] e então, na notação do enunciado [tex3]\angle1 = \angle 2[/tex3] .
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FelipeMartin
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Jul 2021
03
13:46
Re: Pontos Notáveis - Incentro
É basicamente uma forma estranha de ver a demonstração do item 8 daqui viewtopic.php?t=69877
[tex3]AD = AE \implies \angle ADE = \angle ACD[/tex3] .
Seja [tex3]X = DE \cap AC[/tex3] , então [tex3]\triangle ADX \sim \triangle ACD \implies \frac{AX}{AD} = \frac{AD}{AC} \iff X[/tex3] é o inverso de [tex3]C[/tex3] em relação ao círculo azul.
Meio que acabou, seja [tex3]B'[/tex3] o antípoda de [tex3]B[/tex3] no círculo azul. Então:
[tex3]\frac{B'X}{BX} = \frac{R+AX}{R- AX}[/tex3]
e
[tex3]\frac{B'C}{BC} = \frac{R+AC}{AC - R} = \frac{R + \frac{R^2}{AX}}{\frac{R^2}{AX}-R} = \frac{R+AX}{R - AX} = \frac{B'X}{BX}[/tex3]
logo [tex3]\mathcal H (B',B;X,C)[/tex3] e [tex3]\angle B'DB = 90^{\circ}[/tex3] o que implica que [tex3]BD[/tex3] é bissetriz interna de [tex3]XD[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] .
viewtopic.php?t=94127
[tex3]AD = AE \implies \angle ADE = \angle ACD[/tex3] .
Seja [tex3]X = DE \cap AC[/tex3] , então [tex3]\triangle ADX \sim \triangle ACD \implies \frac{AX}{AD} = \frac{AD}{AC} \iff X[/tex3] é o inverso de [tex3]C[/tex3] em relação ao círculo azul.
Meio que acabou, seja [tex3]B'[/tex3] o antípoda de [tex3]B[/tex3] no círculo azul. Então:
[tex3]\frac{B'X}{BX} = \frac{R+AX}{R- AX}[/tex3]
e
[tex3]\frac{B'C}{BC} = \frac{R+AC}{AC - R} = \frac{R + \frac{R^2}{AX}}{\frac{R^2}{AX}-R} = \frac{R+AX}{R - AX} = \frac{B'X}{BX}[/tex3]
logo [tex3]\mathcal H (B',B;X,C)[/tex3] e [tex3]\angle B'DB = 90^{\circ}[/tex3] o que implica que [tex3]BD[/tex3] é bissetriz interna de [tex3]XD[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] .
viewtopic.php?t=94127
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
rodBR
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Jul 2021
03
18:15
Re: Pontos Notáveis - Incentro
Da ideia do null prosseguindo também prova que [tex3]B[/tex3]
é incentro:
[tex3]\Delta ADE[/tex3]
isósceles [tex3]\implies\angle ADE=\angle AED\iff \widehat{DA}=\widehat{AE}\ \ \therefore \ \ \boxed{\boxed{\angle ACD=\angle ACE}}[/tex3]
.
Logo, [tex3]B[/tex3] é incentro do [tex3]\Delta CDE[/tex3]
- Fig - Geo.png (56.63 KiB) Exibido 987 vezes
Logo, [tex3]B[/tex3] é incentro do [tex3]\Delta CDE[/tex3]
Editado pela última vez por rodBR em 03 Jul 2021, 18:18, em um total de 1 vez.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
-
Babi123
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Jul 2021
03
18:28
Re: Pontos Notáveis - Incentro
FelipeMartin escreveu: ↑03 Jul 2021, 13:46 É basicamente uma forma estranha de ver a demonstração do item 8 daqui viewtopic.php?t=69877
[tex3]AD = AE \implies \angle ADE = \angle ACD[/tex3] .
Seja [tex3]X = DE \cap AC[/tex3] , então [tex3]\triangle ADX \sim \triangle ACD \implies \frac{AX}{AD} = \frac{AD}{AC} \iff X[/tex3] é o inverso de [tex3]C[/tex3] em relação ao círculo azul.
Meio que acabou, seja [tex3]B'[/tex3] o antípoda de [tex3]B[/tex3] no círculo azul. Então:
[tex3]\frac{B'X}{BX} = \frac{R+AX}{R- AX}[/tex3]
e
[tex3]\frac{B'C}{BC} = \frac{R+AC}{AC - R} = \frac{R + \frac{R^2}{AX}}{\frac{R^2}{AX}-R} = \frac{R+AX}{R - AX} = \frac{B'X}{BX}[/tex3]
logo [tex3]\mathcal H (B',B;X,C)[/tex3] e [tex3]\angle B'DB = 90^{\circ}[/tex3] o que implica que [tex3]BD[/tex3] é bissetriz interna de [tex3]XD[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] .
viewtopic.php?t=94127
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