OlimpíadasQuestão-Invariância (1)

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Beastie
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Questão-Invariância (1)

Mensagem não lida por Beastie » Sex 20 Fev, 2009 16:32

Como resolvo esta questão ? :)

1) Os números 1,2,\cdots\,,20 são escritos em um quadro negro. Podemos apagar dois deles a e b e escrever no lugar o número a+b+ab . Após muitas operações ficamos com apenas um número. Qual deve ser esse número?

Tirei daqui: http://conesul2006.tripod.com/Material/invariantes2.pdf

Última edição: Beastie (Sex 20 Fev, 2009 16:32). Total de 2 vezes.


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triplebig
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Re: Questões-Invariância

Mensagem não lida por triplebig » Sex 20 Fev, 2009 17:08

Beastie, uma questão por tópico. Coloque a segundo questão em um novo tópico por gentileza.




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triplebig
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Re: Questão-Invariância (1)

Mensagem não lida por triplebig » Dom 22 Fev, 2009 14:06

Veremos um exemplo menor, usando variáveis:

a\,,\,b\,,\,c\,,\,d :

(a+b+ab)\,,\,(c+d+cd)\\
(a+b+ab+c+d+cd)+(a+b+ab)(c+d+cd)\\
=a+b+c+d+ab+cd+ac+ad+acd+bc+bd+bcd+abc+abd+abdc\\
= (a+b+c+d)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+(abc+abd+acd+bcd)+(abcd)

Por esse exemplo da pra ver com clareza como são organizado os números:

A soma dos números tomados de 1 a 1 mais a soma dos números tomados de 2 a 2 mais .... mais o produto dos números.

Não é muito formal, mas da pra ver que é lógico o problema, pois dá para ver que cada número entra no produto cada vez que esse processo é feito, e a distributiva é a mesma não importa que ordem for feita. Isso numa prova não vale nada, mas para achar o número conta.

Essa soma deixo com vc, se não conseguir me fale.
Falous

Última edição: triplebig (Dom 22 Fev, 2009 14:06). Total de 1 vez.



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