Olimpíadas ⇒ Questão-Invariância (1)

[Beastie]

Como resolvo esta questão ?

1) Os números [tex3]1,2,\cdots\,,20[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1,2,\cdots\,,20[/tex3]

são escritos em um quadro negro. Podemos apagar dois deles [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

e escrever no lugar o número [tex3]a+b+ab[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+ab[/tex3]

. Após muitas operações ficamos com apenas um número. Qual deve ser esse número?

Tirei daqui: http://conesul2006.tripod.com/Material/invariantes2.pdf

[triplebig]

Beastie, uma questão por tópico. Coloque a segundo questão em um novo tópico por gentileza.

[triplebig]

Veremos um exemplo menor, usando variáveis:

[tex3]a\,,\,b\,,\,c\,,\,d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\,,\,b\,,\,c\,,\,d[/tex3]

:

[tex3](a+b+ab)\,,\,(c+d+cd)\\
(a+b+ab+c+d+cd)+(a+b+ab)(c+d+cd)\\
=a+b+c+d+ab+cd+ac+ad+acd+bc+bd+bcd+abc+abd+abdc\\
= (a+b+c+d)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+(abc+abd+acd+bcd)+(abcd)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b+ab)\,,\,(c+d+cd)\\
(a+b+ab+c+d+cd)+(a+b+ab)(c+d+cd)\\
=a+b+c+d+ab+cd+ac+ad+acd+bc+bd+bcd+abc+abd+abdc\\
= (a+b+c+d)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+(abc+abd+acd+bcd)+(abcd)[/tex3]

Por esse exemplo da pra ver com clareza como são organizado os números:

A soma dos números tomados de 1 a 1 mais a soma dos números tomados de 2 a 2 mais .... mais o produto dos números.

Não é muito formal, mas da pra ver que é lógico o problema, pois dá para ver que cada número entra no produto cada vez que esse processo é feito, e a distributiva é a mesma não importa que ordem for feita. Isso numa prova não vale nada, mas para achar o número conta.

Essa soma deixo com vc, se não conseguir me fale.
Falous