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Seja [tex3]f(x)=\frac{(x+k)^2}{x^2+1}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\frac{(x+k)^2}{x^2+1}[/tex3]

, [tex3]x\,\in\,(-\infty\,,\,+\infty)[/tex3]

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[tex3]x\,\in\,(-\infty\,,\,+\infty)[/tex3]

, onde [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

é um inteiro positivo. Mostre que [tex3]f(x)\leq k^2+1[/tex3]

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[tex3]f(x)\leq k^2+1[/tex3]

[tex3]f(x)\leq k^2+1 \\ \, \\ \frac{(x+k)^2}{x^2+1}\leq k^2+1 \\ \, \\ (x+k)^2\leq (k^2+1)(x^2+1)\\ \, \\ x^2+2xk+k^2\leq (xk)^2+x^2+k^2+1 \\ \, \\ (xk)^2-2xk+1\geq 0 \\ \, \\ (xk-1)^2\geq 0 \\ \, \\ |xk-1|\geq 0[/tex3]

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[tex3]f(x)\leq k^2+1 \\ \, \\ \frac{(x+k)^2}{x^2+1}\leq k^2+1 \\ \, \\ (x+k)^2\leq (k^2+1)(x^2+1)\\ \, \\ x^2+2xk+k^2\leq (xk)^2+x^2+k^2+1 \\ \, \\ (xk)^2-2xk+1\geq 0 \\ \, \\ (xk-1)^2\geq 0 \\ \, \\ |xk-1|\geq 0[/tex3]

Que por sua vez está correto já que é módulo.