OlimpíadasInequação Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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triplebig
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Fev 2009 20 15:24

Inequação

Mensagem não lida por triplebig » Sex 20 Fev, 2009 15:24

Seja f(x)=\frac{(x+k)^2}{x^2+1} , x\,\in\,(-\infty\,,\,+\infty) , onde k é um inteiro positivo. Mostre que f(x)\leq k^2+1

Última edição: triplebig (Sex 20 Fev, 2009 15:24). Total de 1 vez.



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matbatrobin
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Fev 2009 24 00:13

Re: Inequação

Mensagem não lida por matbatrobin » Ter 24 Fev, 2009 00:13

f(x)\leq k^2+1 \\ \, \\ \frac{(x+k)^2}{x^2+1}\leq k^2+1 \\ \, \\ (x+k)^2\leq (k^2+1)(x^2+1)\\ \, \\ x^2+2xk+k^2\leq (xk)^2+x^2+k^2+1 \\ \, \\ (xk)^2-2xk+1\geq 0 \\ \, \\ (xk-1)^2\geq 0 \\ \, \\ |xk-1|\geq 0

Que por sua vez está correto já que é módulo.

Última edição: matbatrobin (Ter 24 Fev, 2009 00:13). Total de 1 vez.



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