Da desigualdade de
Cauchy [1]: [tex3](x^2+y^2+z^2)^2\geq\,(xy+xz+yz)^2\,\Rightarrow\,|x^2+y^2+z^2|\geq\,|xy+xz+yz|\,\Rightarrow\,x^2+y^2+z^2\geq\,1[/tex3]
[tex3]\text{(*)}[/tex3]
, já que [tex3]xy+xz+yz=1[/tex3]
.
Dá pra desenvolver [tex3]\text{(*)}[/tex3]
:
[tex3]x^2+y^2+z^2\geq\,1[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,3(x^2+y^2+z^2)\geq\,3[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,3(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2)\geq\,3-2(x^2+y^2+z^2)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x^2+y^2+z^2)+3\geq\,6-2(x^2+y^2+z^2)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)+3\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2-2+3\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2+1\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
Observe que, por [tex3]\text{MA}\geq\,\text{MG}[/tex3]
,
[tex3](1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\geq\,3\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}[/tex3]
, logo:
[tex3](x+y+z)^2+1\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}\geq\,2\{3\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}\}[/tex3]
[tex3]=6\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{(x+y+z)^2+1\geq\,6\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot(1-z^2)}}[/tex3]
[1] : tirei esse desenvolvimento de Cauchy daqui:
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... =20&t=9564 . E achei Cauchy e sua prova aqui:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualda ... hy-Schwarz