Olimpíadas(Olímpiada Checa e Eslovaca - 2007) Inequação Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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triplebig
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Fev 2009 20 12:46

(Olímpiada Checa e Eslovaca - 2007) Inequação

Mensagem não lida por triplebig » Sex 20 Fev, 2009 12:46

Se x,y,z são números reais no intervalo (-1\,,\,1) satisfazendo xy+xz+zy=1, mostre que:

6\sqrt[3]{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}\leq1+(x+y+z)^2
Resposta

Só chego em (x+y+z)^2-1\geq6\sqrt[3]{(xyz)^2}

e (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=-(x+y+z+xyz)^2

Última edição: triplebig (Sex 20 Fev, 2009 12:46). Total de 1 vez.



Beastie
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Re: (Olímpiada Checa e Eslovaca - 2007) Inequação

Mensagem não lida por Beastie » Sex 20 Fev, 2009 15:06

Da desigualdade de Cauchy [1]: (x^2+y^2+z^2)^2\geq\,(xy+xz+yz)^2\,\Rightarrow\,|x^2+y^2+z^2|\geq\,|xy+xz+yz|\,\Rightarrow\,x^2+y^2+z^2\geq\,1 \text{(*)} , já que xy+xz+yz=1 .

Dá pra desenvolver \text{(*)}:

x^2+y^2+z^2\geq\,1

\Rightarrow\,3(x^2+y^2+z^2)\geq\,3

\Rightarrow\,3(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2)\geq\,3-2(x^2+y^2+z^2)

\Rightarrow\,(x^2+y^2+z^2)+3\geq\,6-2(x^2+y^2+z^2)

\Rightarrow\,(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)+3\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}

\Rightarrow\,(x+y+z)^2-2+3\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}

\Rightarrow\,(x+y+z)^2+1\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}

Observe que, por \text{MA}\geq\,\text{MG},

(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\geq\,3\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}, logo:

(x+y+z)^2+1\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}\geq\,2\{3\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}\}

=6\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}

Portanto:

\fbox{(x+y+z)^2+1\geq\,6\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot(1-z^2)}}



[1] : tirei esse desenvolvimento de Cauchy daqui: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... =20&t=9564 . E achei Cauchy e sua prova aqui: http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualda ... hy-Schwarz

Última edição: Beastie (Sex 20 Fev, 2009 15:06). Total de 1 vez.


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Re: (Olímpiada Checa e Eslovaca - 2007) Inequação

Mensagem não lida por triplebig » Sex 20 Fev, 2009 17:02

Mto boa a resolução, parabéns!




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