Sejam [tex3]a,b,c>0[/tex3]
[tex3]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq2[/tex3]
com [tex3]a+b+c=1[/tex3]
. Mostre que Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ Inequação Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2009
20
11:06
Re: Inequação
Por [tex3]\text{MA}\geq\,\text{MG}[/tex3]
Desenvolvendo [tex3]\text{(*)}[/tex3] , sabendo que [tex3]a+b+c=1[/tex3] :
[tex3]\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{a+c}{a+b}=\frac{1-c}{b+c}+\frac{1-a}{c+a}+\frac{1-b}{a +b}\geq\,3[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,-1+\frac{1-c}{b+c}+\frac{1-a}{c+a}+\frac{1-b}{a +b}\geq\,3-1=2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(-a-b-c)+\frac{1-c}{b+c}+\frac{1-a}{c+a}+\frac{1-b}{a +b}\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(-a+\frac{1-c}{b+c})+(-b+\frac{1-a}{c+a})+(-c+\frac{1-b}{a +b})\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,\frac{-a(b+c)+1-c}{b+c}+\frac{-b(c+a)+1-a}{c+a}+\frac{-c(a+b)+1-b}{a+b}\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,\frac{-a(1-a)+1-c}{b+c}+\frac{-b(1-b)+1-a}{c+a}+\frac{-c(1-c)+1-b}{a+b}\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,\frac{a^2+(1-a-c)}{b+c}+\frac{b^2+(1-a-b)}{c+a}+\frac{c^2+(1-c-b)}{a+b}\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,\boxed{\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq\,2}[/tex3]
, [tex3]\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{a+c}{a+b}\geq\,3\sqrt[3]{\frac{a+b}{b+c}\cdot\,\frac{b+c}{c+a}\cdot\,\frac{a+c}{a+b}}=3[/tex3]
[tex3]\text{(*)}[/tex3]
.Desenvolvendo [tex3]\text{(*)}[/tex3] , sabendo que [tex3]a+b+c=1[/tex3] :
[tex3]\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{a+c}{a+b}=\frac{1-c}{b+c}+\frac{1-a}{c+a}+\frac{1-b}{a +b}\geq\,3[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,-1+\frac{1-c}{b+c}+\frac{1-a}{c+a}+\frac{1-b}{a +b}\geq\,3-1=2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(-a-b-c)+\frac{1-c}{b+c}+\frac{1-a}{c+a}+\frac{1-b}{a +b}\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(-a+\frac{1-c}{b+c})+(-b+\frac{1-a}{c+a})+(-c+\frac{1-b}{a +b})\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,\frac{-a(b+c)+1-c}{b+c}+\frac{-b(c+a)+1-a}{c+a}+\frac{-c(a+b)+1-b}{a+b}\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,\frac{-a(1-a)+1-c}{b+c}+\frac{-b(1-b)+1-a}{c+a}+\frac{-c(1-c)+1-b}{a+b}\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,\frac{a^2+(1-a-c)}{b+c}+\frac{b^2+(1-a-b)}{c+a}+\frac{c^2+(1-c-b)}{a+b}\geq\,2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,\boxed{\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq\,2}[/tex3]
Editado pela última vez por Beastie em 20 Fev 2009, 11:06, em um total de 1 vez.
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