OlimpíadasGeometria

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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ALDRIN
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Fev 2009 19 23:51

Geometria

Mensagem não lida por ALDRIN » Qui 19 Fev, 2009 23:51

Seja ABC é um triângulo retângulo com hipotenusa AB, \overline{AB}=10, e \overline{AC}=8.
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Seja P e Q pontos sobre os lados BC e AC, respectivamente, tais que \overline{CP}=\overline{CQ}=2.
Seja S ponto de interseção da reta que passa por C e pelo ponto de interseção, R, determinado pelas retas AP e BQ, com lado AB. Seja T ponto de interseção da reta AB com a reta suporte do segmento PQ. Nestas condições, determine o comprimento do segmento TS.

Última edição: ALDRIN (Qui 19 Fev, 2009 23:51). Total de 1 vez.


"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

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adrianotavares
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Fev 2009 22 21:57

Re: Geometria

Mensagem não lida por adrianotavares » Dom 22 Fev, 2009 21:57

Olá, Aldrin.
imagem.GIF
imagem.GIF (3.32 KiB) Exibido 282 vezes
BS= x

AS= 10-x

CS=y

Aplicando Pitágoras no \Delta ABC encontraremos:

CB= 6

senA= \frac{3}{5}

senB= \frac{4}{5}

Aplicando o Teorema dos senos no \Delta CSB temos:

\frac{x}{sen45^\circ}= \frac{y}{senB} \Rightarrow \frac{x}{sen45^\circ}= \frac{y}{\frac{4}{5}} \Rightarrow y sen45^\circ= \frac{4x}{5} (i)

De maneira análoga no \Delta ACS teremos:

\frac{10-x}{sen45^\circ}= \frac{y}{senA} \Rightarrow \frac{10-x}{sen45^\circ}= \frac{y}{\frac{3}{5}} \Rightarrow y sen45^\circ= \frac{3}{5}(10-x) (ii)

Igualando (i) e (ii) teremos:

\frac{4x}{5}= \frac{3}{5}(10-x) \Rightarrow 4x= 30-3x \Rightarrow x= \frac{30}{7}

ysen45^\circ= \frac{4}{5}.\frac{30}{7} \Rightarrow \frac{y \sqrt{2}}{2}= \frac{24}{7} \Rightarrow y= \frac{48}{7 \sqrt{2}} \Rightarrow y= \frac{24\sqrt{2}}{7}

Aplicando O Teorema dos senos no \Delta AQT teremos;

\frac{QT}{senA}= \frac{QA}{senT} \Rightarrow \frac{QT}{\frac{3}{5}}= \frac{6}{senT} \Rightarrow senT = \frac{18}{5QT} (iii)

De maneira análoga no \Delta PBT temos:

\frac{PB}{senT}= \frac{PT}{sen(180^\circ-B)} \Rightarrow \frac{PB}{senT}= \frac{PT}{senB} \Rightarrow senT=\frac{PB senB}{PT} (iv)

Igualando (iii) (iv) teremos:

\frac{18}{5QT}= \frac{PB senB}{PT} \Rightarrow 18PT= 5.QT.PB.senB \Rightarrow 18.PT= 5(2 \sqrt{2}+PT).4.\frac{4}{5}

\Rightarrow 18PT= 32 \sqrt{2}+ 16PT \Rightarrow 2PT= 32\sqrt{2} \Rightarrow PT= 16 \sqrt{2}

MP= \frac{QP}{2} \Rightarrow MP= \frac{2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow MP= \sqrt{2}

MT= PT+MT \Rightarrow MT= 17 \sqrt{2}

Sendo o \Delta CMP isósceles tem-se que :

CM= \sqrt{2}

MS= y- CM \Rightarrow MS= \frac{24 \sqrt{2}}{7}- \sqrt{2} \Rightarrow MS=\frac{17 \sqrt{2}}{7}

Aplicando Pitágoras no \Delta MTS teremos:

(TS)^2= \frac{578}{49}+ 578 \Rightarrow (TS)^2=\frac{28900}{49} \Rightarrow TS= \sqrt{\frac{28900}{49}} \Rightarrow TS=\frac{170}{7}

Última edição: adrianotavares (Dom 22 Fev, 2009 21:57). Total de 1 vez.



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JaymeIII
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Fev 2009 26 18:38

Re: Geometria

Mensagem não lida por JaymeIII » Qui 26 Fev, 2009 18:38

Como você pode afirmar que a interseção de CS com QP é o ponto médio?



"Criatividade é a alma do negócio."

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