OlimpíadasGeometria

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
ALDRIN
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 4663
Registrado em: Qua 09 Abr, 2008 16:20
Última visita: 21-03-19
Localização: Brasília-DF
Agradeceu: 2625
Agradeceram: 302
Contato:
Fev 2009 19 23:51

Geometria

Mensagem não lida por ALDRIN » Qui 19 Fev, 2009 23:51

Seja ABC é um triângulo retângulo com hipotenusa AB, \overline{AB}=10, e \overline{AC}=8.
imagem.GIF
imagem.GIF (3.03 KiB) Exibido 316 vezes
Seja P e Q pontos sobre os lados BC e AC, respectivamente, tais que \overline{CP}=\overline{CQ}=2.
Seja S ponto de interseção da reta que passa por C e pelo ponto de interseção, R, determinado pelas retas AP e BQ, com lado AB. Seja T ponto de interseção da reta AB com a reta suporte do segmento PQ. Nestas condições, determine o comprimento do segmento TS.

Última edição: ALDRIN (Qui 19 Fev, 2009 23:51). Total de 1 vez.


"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

Hoefer, H., 80.

adrianotavares
5 - Mestre
Mensagens: 1502
Registrado em: Qua 02 Jul, 2008 22:12
Última visita: 20-08-16
Agradeceram: 204
Fev 2009 22 21:57

Re: Geometria

Mensagem não lida por adrianotavares » Dom 22 Fev, 2009 21:57

Olá, Aldrin.
imagem.GIF
imagem.GIF (3.32 KiB) Exibido 277 vezes
BS= x

AS= 10-x

CS=y

Aplicando Pitágoras no \Delta ABC encontraremos:

CB= 6

senA= \frac{3}{5}

senB= \frac{4}{5}

Aplicando o Teorema dos senos no \Delta CSB temos:

\frac{x}{sen45^\circ}= \frac{y}{senB} \Rightarrow \frac{x}{sen45^\circ}= \frac{y}{\frac{4}{5}} \Rightarrow y sen45^\circ= \frac{4x}{5} (i)

De maneira análoga no \Delta ACS teremos:

\frac{10-x}{sen45^\circ}= \frac{y}{senA} \Rightarrow \frac{10-x}{sen45^\circ}= \frac{y}{\frac{3}{5}} \Rightarrow y sen45^\circ= \frac{3}{5}(10-x) (ii)

Igualando (i) e (ii) teremos:

\frac{4x}{5}= \frac{3}{5}(10-x) \Rightarrow 4x= 30-3x \Rightarrow x= \frac{30}{7}

ysen45^\circ= \frac{4}{5}.\frac{30}{7} \Rightarrow \frac{y \sqrt{2}}{2}= \frac{24}{7} \Rightarrow y= \frac{48}{7 \sqrt{2}} \Rightarrow y= \frac{24\sqrt{2}}{7}

Aplicando O Teorema dos senos no \Delta AQT teremos;

\frac{QT}{senA}= \frac{QA}{senT} \Rightarrow \frac{QT}{\frac{3}{5}}= \frac{6}{senT} \Rightarrow senT = \frac{18}{5QT} (iii)

De maneira análoga no \Delta PBT temos:

\frac{PB}{senT}= \frac{PT}{sen(180^\circ-B)} \Rightarrow \frac{PB}{senT}= \frac{PT}{senB} \Rightarrow senT=\frac{PB senB}{PT} (iv)

Igualando (iii) (iv) teremos:

\frac{18}{5QT}= \frac{PB senB}{PT} \Rightarrow 18PT= 5.QT.PB.senB \Rightarrow 18.PT= 5(2 \sqrt{2}+PT).4.\frac{4}{5}

\Rightarrow 18PT= 32 \sqrt{2}+ 16PT \Rightarrow 2PT= 32\sqrt{2} \Rightarrow PT= 16 \sqrt{2}

MP= \frac{QP}{2} \Rightarrow MP= \frac{2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow MP= \sqrt{2}

MT= PT+MT \Rightarrow MT= 17 \sqrt{2}

Sendo o \Delta CMP isósceles tem-se que :

CM= \sqrt{2}

MS= y- CM \Rightarrow MS= \frac{24 \sqrt{2}}{7}- \sqrt{2} \Rightarrow MS=\frac{17 \sqrt{2}}{7}

Aplicando Pitágoras no \Delta MTS teremos:

(TS)^2= \frac{578}{49}+ 578 \Rightarrow (TS)^2=\frac{28900}{49} \Rightarrow TS= \sqrt{\frac{28900}{49}} \Rightarrow TS=\frac{170}{7}

Última edição: adrianotavares (Dom 22 Fev, 2009 21:57). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
JaymeIII
sênior
Mensagens: 38
Registrado em: Qui 22 Jan, 2009 15:51
Última visita: 21-01-10
Localização: Rio de Janeiro
Fev 2009 26 18:38

Re: Geometria

Mensagem não lida por JaymeIII » Qui 26 Fev, 2009 18:38

Como você pode afirmar que a interseção de CS com QP é o ponto médio?



"Criatividade é a alma do negócio."

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Vunesp) Geometria
    por Mia » Dom 27 Mar, 2016 08:21 » em Concursos Públicos
    1 Respostas
    1960 Exibições
    Última msg por undefinied3
    Dom 27 Mar, 2016 12:16
  • Nova mensagem Geometria Analítica
    por moreira90 » Dom 27 Mar, 2016 20:04 » em Ensino Superior
    0 Respostas
    85 Exibições
    Última msg por moreira90
    Dom 27 Mar, 2016 20:04
  • Nova mensagem Geometria Analítica
    por moreira90 » Dom 27 Mar, 2016 20:10 » em Ensino Superior
    0 Respostas
    86 Exibições
    Última msg por moreira90
    Dom 27 Mar, 2016 20:10
  • Nova mensagem (UEL-PR) Geometria Plana
    por gueucr » Seg 28 Mar, 2016 11:29 » em Pré-Vestibular
    2 Respostas
    4245 Exibições
    Última msg por csmarcelo
    Ter 29 Mar, 2016 08:31
  • Nova mensagem (Unifei-MG) Geometria Plana
    por gueucr » Seg 28 Mar, 2016 11:34 » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    460 Exibições
    Última msg por Gauss
    Seg 28 Mar, 2016 12:35

Voltar para “Olimpíadas”