Olimpíadas ⇒ (Portugal-2004) Tópico resolvido

[Hollo]

Com centro em cada um dos vértices de um triângulo equilátero com 2 cm de lado, desenham-se três círculos com [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

cm de raio. Qual é a área da interseção dos três círculos?

Resposta

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[tex3]\sqrt{3}-3+\frac{π}{2} cm^2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}-3+\frac{π}{2} cm^2[/tex3]

[NigrumCibum]

20210622_220510.jpg (28.13 KiB) Exibido 792 vezes

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo destacado encontramos [tex3]a=\sqrt{3}-1[/tex3]

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[tex3]a=\sqrt{3}-1[/tex3]

; então [tex3]OL=OQ.[/tex3]

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[tex3]OL=OQ.[/tex3]

Deste modo [tex3]\angle PLQ=15°×2=30° [/tex3]

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[tex3]\angle PLQ=15°×2=30° [/tex3]

, assim, a área do triângulo curvilíneo POQ será [tex3]S=3(\frac{(\sqrt{2})^2}{2}(\frac{\pi}{6}-\sen(\frac{\pi}{6})))+(\sqrt{3}-1)^2\frac{\sqrt{3}}{4}\implies S=\sqrt{3}-3+\frac{\pi}{2}~cm^2.[/tex3]

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[tex3]S=3(\frac{(\sqrt{2})^2}{2}(\frac{\pi}{6}-\sen(\frac{\pi}{6})))+(\sqrt{3}-1)^2\frac{\sqrt{3}}{4}\implies S=\sqrt{3}-3+\frac{\pi}{2}~cm^2.[/tex3]