[tex3]a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc}\leq 1[/tex3]
tentativa
Tentei fazer algumas coisas tipo:
[tex3]a^3+b^3+c^3\geq 3abc\\
(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(a+c)\geq3abc\\
1-3(1-c)(1-a)(1-b)\geq 3abc\\
1-3(1-c-a+ac)(1-b)\geq3abc\\
1-3(1-c-a+ac-b+bc+ab-abc)\geq3abc\\
1-3+3(a+b+c)-3(ac+bc+ab)+3abc\geq3abc\\
3-3(ab+ac+bc)\geq2\\3(ab+bc+ac)\leq 1[/tex3]
Mas também
[tex3]1=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\;\Leftright\;ab+bc+ac=\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}[/tex3]
Aí substituindo
[tex3]3\(\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}\)\leq 1[/tex3]
[tex3]3-3(a^2+b^2+c^2)\leq 2\\
a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}[/tex3]
Mas o que incomoda é o [tex3]2\sqrt{3abc}[/tex3]