Olimpíadas ⇒ (Harvard) Série Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:3002)]

Calcule:
[tex3]\frac{1}{10}+\frac{1}{18}+\frac{1}{28}+...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{10}+\frac{1}{18}+\frac{1}{28}+...[/tex3]

[triplebig]

O problema não está deixando claro como é a série, só são esses termos que mostram?

O próximo termo seria [tex3]\frac{1}{38}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{38}[/tex3]

ou [tex3]\frac{1}{40}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{40}[/tex3]

?

[Auto Excluído (ID:3002)]

Triplebig, o enunciado do problema só fornece estes números.

[triplebig]

Então ok, vou assumir que seja assim a série:

[tex3]\frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+2}+\frac{1}{5^2+3}+\frac{1}{6^2+4}+\cdots[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+2}+\frac{1}{5^2+3}+\frac{1}{6^2+4}+\cdots[/tex3]

.

O que estamos querendo encontrar é

[tex3]\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^2+n-2}=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)(n+2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^2+n-2}=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)(n+2)}[/tex3]

Quero escrever o número [tex3]\frac{1}{(n-1)(n+2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{(n-1)(n+2)}[/tex3]

como [tex3]\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+2}[/tex3]

Para isso temos [tex3]A(n+2)+B(n-1)=1\text{ , }\forall \,n\,\in\,\mathbb{N}-\{1\,,\,-2\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(n+2)+B(n-1)=1\text{ , }\forall \,n\,\in\,\mathbb{N}-\{1\,,\,-2\}[/tex3]

Desenvolvendo:

[tex3]An+2A+Bn-B=0n+1\;\Right\;\begin{cases}A+B=0 \\ 2A-B=1\end{cases}\;\Leftright\;A=\frac{1}{3}\ \text{ e }B=-\frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]An+2A+Bn-B=0n+1\;\Right\;\begin{cases}A+B=0 \\ 2A-B=1\end{cases}\;\Leftright\;A=\frac{1}{3}\ \text{ e }B=-\frac{1}{3}[/tex3]

Assim, substituindo:

[tex3]\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)(n+2)}=\sum_{n=3}^{\infty}\(\frac{\frac{1}{3}}{n-1}-\frac{\frac{1}{3}}{n+2}\)=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\frac{1}{3}}{n-1}\,-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\frac{1}{3}}{n+2}=\frac{1}{3}\cdot\(\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)(n+2)}=\sum_{n=3}^{\infty}\(\frac{\frac{1}{3}}{n-1}-\frac{\frac{1}{3}}{n+2}\)=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\frac{1}{3}}{n-1}\,-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\frac{1}{3}}{n+2}=\frac{1}{3}\cdot\(\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}\)[/tex3]

(1) [tex3]\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\,\cdots[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\,\cdots[/tex3]

(2) [tex3]\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\,\cdots[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\,\cdots[/tex3]

(1) - (2) [tex3]=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}[/tex3]

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[tex3]=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}[/tex3]

Assim [tex3]\frac{1}{3}\cdot\(\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}\)=\frac{1}{3}\cdot \frac{13}{12}=\boxed{\,\frac{13}{36}\,}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}\cdot\(\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}\)=\frac{1}{3}\cdot \frac{13}{12}=\boxed{\,\frac{13}{36}\,}[/tex3]

[FMRY]

[tex3]\frac{1}{2.5} + \frac{1}{3.6} + \frac{1}{4.7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2.5} + \frac{1}{3.6} + \frac{1}{4.7}[/tex3]

...
[tex3]\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}{3} + \frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}{3} + \frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{7}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}{3} + \frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}{3} + \frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{7}}{3}[/tex3]

...
[tex3]\frac{(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} ...)-(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} ...)}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} ...)-(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} ...)}{3}[/tex3]

esses tres pontos é de continuaçao é pq num deu certo aki...
pois é todos os termos do 1° parentese depois de [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

iram ser subtraidos restando apenas:

[tex3]\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{13}{36}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{13}{36}[/tex3]