Olimpíadas(Harvard) Série Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Fev 2009 16 17:36

(Harvard) Série

Mensagem não lida por filipeot » Seg 16 Fev, 2009 17:36

Calcule:
\frac{1}{10}+\frac{1}{18}+\frac{1}{28}+...

Última edição: filipeot (Seg 16 Fev, 2009 17:36). Total de 1 vez.


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Fev 2009 16 21:33

Re: (Harvard) Série

Mensagem não lida por triplebig » Seg 16 Fev, 2009 21:33

O problema não está deixando claro como é a série, só são esses termos que mostram?

O próximo termo seria \frac{1}{38} ou \frac{1}{40} ?

Última edição: triplebig (Seg 16 Fev, 2009 21:33). Total de 1 vez.



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Fev 2009 17 08:34

Re: (Harvard) Série

Mensagem não lida por filipeot » Ter 17 Fev, 2009 08:34

Triplebig, o enunciado do problema só fornece estes números.


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Fev 2009 17 09:08

Re: (Harvard) Série

Mensagem não lida por triplebig » Ter 17 Fev, 2009 09:08

Então ok, vou assumir que seja assim a série:

\frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+2}+\frac{1}{5^2+3}+\frac{1}{6^2+4}+\cdots .

O que estamos querendo encontrar é

\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^2+n-2}=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)(n+2)}

Quero escrever o número \frac{1}{(n-1)(n+2)} como \frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+2}

Para isso temos A(n+2)+B(n-1)=1\text{ , }\forall \,n\,\in\,\mathbb{N}-\{1\,,\,-2\}

Desenvolvendo:

An+2A+Bn-B=0n+1\;\Right\;\begin{cases}A+B=0 \\ 2A-B=1\end{cases}\;\Leftright\;A=\frac{1}{3}\ \text{ e }B=-\frac{1}{3}

Assim, substituindo:

\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)(n+2)}=\sum_{n=3}^{\infty}\(\frac{\frac{1}{3}}{n-1}-\frac{\frac{1}{3}}{n+2}\)=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\frac{1}{3}}{n-1}\,-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\frac{1}{3}}{n+2}=\frac{1}{3}\cdot\(\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}\)

(1) \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\,\cdots

(2) \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\,\cdots

(1) - (2) =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}

Assim \frac{1}{3}\cdot\(\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n-1}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n+2}\)=\frac{1}{3}\cdot \frac{13}{12}=\fbox{\,\frac{13}{36}\,}
Última edição: triplebig (Ter 17 Fev, 2009 09:08). Total de 1 vez.



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Re: (Harvard) Série

Mensagem não lida por FMRY » Ter 21 Abr, 2009 21:16

\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3.6}+\frac{1}{4.7}...
\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}{3}+\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}{3}+\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{7}}{3}...
\frac{(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} ...)-(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} ...)}{3}
esses tres pontos é de continuaçao é pq num deu certo aki...
pois é todos os termos do 1° parentese depois de \frac{1}{4} iram ser subtraidos restando apenas:

\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{3}
\frac{13}{36}

Última edição: FMRY (Ter 21 Abr, 2009 21:16). Total de 1 vez.



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