Olimpíadas ⇒ (Peru) Trigonometria Tópico resolvido

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Dada a figura:

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Sabendo que BP = a e BQ = b. Então, o valor de BE em função de a e b vale:

a) (2ab)/(a+b)
b) (ab)/(a+b)
c) 2a + b
d) a+b
e) a+2b

Resposta

---

A. Tentei fazer algo por Stewart no triângulo BAC mas fiquei com contas grandes.

[παθμ]

[tex3]AB=\frac{a}{\cos(\theta)},[/tex3]

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[tex3]AB=\frac{a}{\cos(\theta)},[/tex3]

[tex3]BC=\frac{b}{\cos(\theta)}.[/tex3]

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[tex3]BC=\frac{b}{\cos(\theta)}.[/tex3]

Seja [tex3]x=AE[/tex3]

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[tex3]x=AE[/tex3]

e [tex3]y=EC.[/tex3]

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[tex3]y=EC.[/tex3]

Teorema da bissetriz interna no triângulo ABC: [tex3]x=\frac{ay}{b}.[/tex3]

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[tex3]x=\frac{ay}{b}.[/tex3]

(Eq. 1)

Lei dos cossenos no triângulo ABC:

[tex3](x+y)^2=\frac{a^2}{\cos^2(\theta)}+\frac{b^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{2ab}{\cos^2(\theta)}\cos(2\theta).[/tex3]

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[tex3](x+y)^2=\frac{a^2}{\cos^2(\theta)}+\frac{b^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{2ab}{\cos^2(\theta)}\cos(2\theta).[/tex3]

(Eq. 2)

[tex3]\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1,[/tex3]

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[tex3]\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1,[/tex3]

e substituindo isso na Eq. 2:

[tex3](x+y)^2=\frac{(a+b)^2}{\cos^2(\theta)}-4ab.[/tex3]

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[tex3](x+y)^2=\frac{(a+b)^2}{\cos^2(\theta)}-4ab.[/tex3]

(Eq. 3)

Substituindo (1) em (3):

[tex3]\frac{y^2(a+b)^2}{b^2}=\frac{(a+b)^2}{\cos^2(\theta)}-4ab \Longrightarrow y^2=\frac{b^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab^3}{(a+b)^2}.[/tex3]

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[tex3]\frac{y^2(a+b)^2}{b^2}=\frac{(a+b)^2}{\cos^2(\theta)}-4ab \Longrightarrow y^2=\frac{b^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab^3}{(a+b)^2}.[/tex3]

Usando a Eq. 1, obtemos também [tex3]x^2=\frac{a^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{4a^3b}{(a+b)^2}.[/tex3]

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[tex3]x^2=\frac{a^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{4a^3b}{(a+b)^2}.[/tex3]

[tex3]x^2y^2=a^2b^2\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right)^2 \Longrightarrow xy=ab\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right).[/tex3]

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[tex3]x^2y^2=a^2b^2\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right)^2 \Longrightarrow xy=ab\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right).[/tex3]

Para calcular [tex3]BE,[/tex3]

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[tex3]BE,[/tex3]

usamos a fórmula:

[tex3]BE^2=AB \cdot AC-AE \cdot EC =\frac{ab}{\cos^2(\theta)}-ab\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right)=\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \Longrightarrow \boxed{BE=\frac{2ab}{a+b}}[/tex3]

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[tex3]BE^2=AB \cdot AC-AE \cdot EC =\frac{ab}{\cos^2(\theta)}-ab\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right)=\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \Longrightarrow \boxed{BE=\frac{2ab}{a+b}}[/tex3]

Alternativa A