OlimpíadasProduto de inteiros

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Beastie
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Produto de inteiros

Mensagem não lida por Beastie » Sex 13 Fev, 2009 01:51

Prove que o produto de quatro números naturais consecutivos não pode ser o quadrado de um inteiro.



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triplebig
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Fev 2009 13 02:38

Re: Produto de inteiros

Mensagem não lida por triplebig » Sex 13 Fev, 2009 02:38

Temos que provar que (n-2)(n-1)(n)(n+1)\neq k^2 , para n\,,\,k\,\in \,\mathbb{N}

Desenvolvendo o membro da esquerda:

n(n-2)(n^2-1)=(n^2-2n)(n^2-1)

Para este último produto ser verdadeiro, teriamos que as seguintes ocasiões:
Logo não é possível tal produto existir c.q.d.

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Re: Produto de inteiros

Mensagem não lida por Beastie » Seg 16 Fev, 2009 12:33

Acho que esses três casos não são suficientes pra generalizar. Por exemplo, 36 é quadrado de um inteiro, e pode ser escrito como 3\cdot12.

Abraços.
Última edição: Beastie (Seg 16 Fev, 2009 12:33). Total de 1 vez.


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Fev 2009 16 13:20

Re: Produto de inteiros

Mensagem não lida por triplebig » Seg 16 Fev, 2009 13:20

Certo, vou tentar algo:

Seja k=a\cdot b . k^2 pode ser escrito a\cdot \frac{k^2}{a} ou b\cdot \frac{k^2}{b} .

aí temos:

n^2-2n=a\text{ e }n^2-1=\frac{k^2}{a}

Pela primeira equação, temos que 4+4a deve ser um quadrado perfeito. O Valor de n seria:

1+\sqrt{1+a}

Na segunda:

n=\sqrt{\frac{k^2}{a}+1}\;\Leftright\;1+\sqrt{1+a}=\sqrt{\frac{k^2}{a}+1}\\
\Leftright\;1+2\sqrt{1+a}+1+a=\frac{k^2}{a}+1\\
\Leftright\;2\sqrt{1+a}=\frac{k^2}{a}-a-1

Com isso \frac{k^2}{a}-a-1 deve ser par, que não ocorre para a par, logo a deve ser ímpar.

Mas pela equação n=1+\sqrt{1+a} , vimos que n seria par. Para ser par \frac{k^2}{a} teria quer ser ímpar.

Então \frac{k^2}{a}-a-1 é ímpar, logo não é possível para os inteiros não negativos.

Acho que esse aí cobriu todos os casos né?

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