Olimpíadas

Sejam x e y reais positivos e [tex3]\theta \neq \frac{\pi }{2}+k\pi [/tex3] para todo inteiro k. Suponha que

[tex3]\begin{cases}
\frac{sen\theta }{x}=\frac{cos\theta }{y} \\
\frac{cos^4\theta }{x^4}+\frac{sen^4\theta }{y^4}=\frac{97sen(2\theta )}{x^3y+y^3x}
\end{cases}[/tex3]

Determine o valor numérico de [tex3]\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}\right)[/tex3]

Resposta

4

Mensagem não lida por **Tassandro** » 08 Nov 2021, 08:57

Zhadnyy,
Fazendo [tex3]\senθ=s[/tex3] e [tex3]\cosθ=c[/tex3] , vem que
[tex3]\frac sx=\frac cy=k\\
\frac{c^4}{x^4}+\frac{s^4}{y^4}=\frac{194sc}{xy(x^2+y^2)}\\
\frac{k^4(x^8+y^8)}{x^4y^4}=\frac{194k^2xy}{(xy)(x^2+y^2)}\\
k^2(x^8+y^8)(x^2+y^2)=194x^4y^4[/tex3]
Temos que [tex3]s^2+c^2=k^2(x^2+y^2)=1[/tex3]
[tex3]x^8+y^8=194x^4y^4[/tex3]
[tex3]s^4+c^4+2(sc)^2=k^4(x^4+y^4)+2k^4x^2y^2=1\\
k^4(x^4+y^4)=1-2k^4x^2y^2\\
k^8(x^8+y^8+2(xy)^4)=4k^8x^4y^4-4k^4x^2y^2+1\\
196k^8(xy)^4=4k^8(xy)^4-4k^4(xy)^2+1\\
k^4(xy)^2=z>0\\
192z^2+4z-1=0\implies z=\frac{1}{16}\implies k^2xy=\frac14[/tex3]
A expressão pedida vale
[tex3]\frac{x^2+y^2}{xy}[/tex3]
Como vimos antes, [tex3]x^2+y^2=\frac{1}{k^2}[/tex3]
Finalmente, o que se pede é dado por
[tex3]\frac{1}{k^2xy}=4[/tex3]

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(Índia) Trigonometria

Re: (Índia) Trigonometria

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