Olimpíadas ⇒ (Banco USAMO) Recorrência
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Deleted User 23699
- Última visita: 31-12-69
Mai 2021
18
09:39
(Banco USAMO) Recorrência
A sequência [tex3](x_n)_n[/tex3]
é definida por [tex3]x_1=4[/tex3]
e [tex3]x_2=19[/tex3]
, e para [tex3]n\geq 2[/tex3]
, [tex3]x_{n+1}= \lceil \frac{x_n^2}{x_{n-1}}\rceil [/tex3]
. Prove que [tex3]x_n-1[/tex3]
é sempre múltiplo de 3.
Mai 2021
19
19:39
Re: (Banco USAMO) Recorrência
Talvez isso ajude a começar:
Propriedade: [tex3]\lceil \frac{x^2_{n}}{x_{n-1}}\rceil = \lfloor\frac{x^2_n+x_{n-1}-1}{x_{n-1}} \rfloor [/tex3]
Demonstração:
Se [tex3]\lceil\frac{a}{b} \rceil = x[/tex3] , com [tex3]a,b>0 [/tex3] inteiros, então:
[tex3]\frac{a}{b}\leq x<\frac{a}{b}+1[/tex3]
[tex3]a\leq bx < a+b [/tex3]
[tex3]a-b\leq b\cdot (x-1) < a[/tex3]
[tex3]a-b\leq b\cdot (x-1) < a \leq bx[/tex3]
[tex3]b\cdot (x-1)+1 \leq a \leq bx[/tex3]
[tex3]b\cdot (x-1) \leq a-1 \leq bx-1[/tex3]
[tex3]bx \leq a+b-1 \leq b\cdot (x+1)-1[/tex3]
[tex3]x \leq \frac{a+b-1}{b} \leq x+1-\frac{1}{b}[/tex3]
Aplicando a parte inteira:
[tex3]\lceil\frac{a}{b} \rceil =\lfloor\frac{a+b-1}{b} \rfloor [/tex3]
Sendo assim:
[tex3]x_{n+1}= \lfloor\frac{x^2_n+x_{n-1}-1}{x_{n-1}} \rfloor [/tex3]
[tex3]x_{n+1}-1= \lfloor\frac{x^2_n-1}{x_{n-1}} \rfloor [/tex3]
Propriedade: [tex3]\lceil \frac{x^2_{n}}{x_{n-1}}\rceil = \lfloor\frac{x^2_n+x_{n-1}-1}{x_{n-1}} \rfloor [/tex3]
Demonstração:
Resposta
Se [tex3]\lceil\frac{a}{b} \rceil = x[/tex3] , com [tex3]a,b>0 [/tex3] inteiros, então:
[tex3]\frac{a}{b}\leq x<\frac{a}{b}+1[/tex3]
[tex3]a\leq bx < a+b [/tex3]
[tex3]a-b\leq b\cdot (x-1) < a[/tex3]
[tex3]a-b\leq b\cdot (x-1) < a \leq bx[/tex3]
[tex3]b\cdot (x-1)+1 \leq a \leq bx[/tex3]
[tex3]b\cdot (x-1) \leq a-1 \leq bx-1[/tex3]
[tex3]bx \leq a+b-1 \leq b\cdot (x+1)-1[/tex3]
[tex3]x \leq \frac{a+b-1}{b} \leq x+1-\frac{1}{b}[/tex3]
Aplicando a parte inteira:
[tex3]\lceil\frac{a}{b} \rceil =\lfloor\frac{a+b-1}{b} \rfloor [/tex3]
[tex3]x_{n+1}= \lfloor\frac{x^2_n+x_{n-1}-1}{x_{n-1}} \rfloor [/tex3]
[tex3]x_{n+1}-1= \lfloor\frac{x^2_n-1}{x_{n-1}} \rfloor [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 780 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 1 Respostas
- 830 Exibições
-
Última msg por leozitz
-
- 1 Respostas
- 2129 Exibições
-
Última msg por magben
-
- 0 Respostas
- 1830 Exibições
-
Última msg por lilith7
