Olimpíadas

Defina a sequência [tex3](a_n),n\in Z_+^*[/tex3] recursivamente por [tex3]a_1=1[/tex3] e [tex3]a_{n+1}=\frac{1+4a_n+\sqrt{1+24a_n}}{16}[/tex3] , para qualquer n maior ou igual a 1.

Resposta

[tex3]\frac{1}{3}+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3.2^{2n-1}}[/tex3]
Eu achei parecido com Bháskara e pensei em achar a equação característica, mas não tive sucesso... Esse problema está na seção RECORRÊNCIAS LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS DE 1ª ORDEM A COEFICIENTES CONSTANTES

[tex3]p_n^2 = 1 + 24 a_n[/tex3] , então

[tex3]a_{n+1} = \frac{1+4a_n + p_n}{16} = \frac{1+p_n + \frac{(p_n-1)^2}{6}}{16} = \frac{(p_n-1)(p_n+5)}{6 \cdot 16}[/tex3] , logo:

[tex3]p_{n+1}^2 = 1 + 24a_{n+1} = \frac{24(p_n-1)(p_n+5)}{6 \cdot 16} + 1 = \frac{(p_n+3)^2}4[/tex3]

logo [tex3]2p_{n+1} = p_n +3[/tex3] ai é só resolver essa recorrência, com [tex3]p_1=5[/tex3] .

[tex3]p_n = b_n + k \implies 2b_{n+1} + 2k = b_n + k + 3 \implies 2b_{n+1} + k = b_n +3[/tex3] , tomando [tex3]k=3[/tex3]

[tex3]2b_{n+1} = b_n \implies b_{n+1} = \frac12 b_n \implies b_n = 2^{2-n} \implies p_n = 3 + 2^{2-n}[/tex3]

donde [tex3]a_n = \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right )[/tex3]

Olimpíadas ⇒ (Banco IMO) Recorrência Tópico resolvido

(Banco IMO) Recorrência

Re: (Banco IMO) Recorrência

Crie uma conta ou entre para participar dessa discussão

Crie uma nova conta

Entrar