Olimpíadas(AIME) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Deleted User 23699
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Mai 2021 04 21:37

(AIME) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Sabendo que r e s são raízes reais de [tex3]P(x)=x^3+ax+b[/tex3] e r+4 e s-3 são raízes reais de [tex3]q(x)=x^3+ax+b+240[/tex3] , calcule a soma de todos os valores possíveis de |b|
Resposta

420
Se possível, usando DIFERENÇAS FINITAS, EQUAÇÕES RECÍPROCAS E MMC/MDC DE POLINÔMIOS




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Ittalo25
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Mai 2021 05 00:54

Re: (AIME) Polinômios

Mensagem não lida por Ittalo25 »

As raízes de P(x) são r,s e -r-s já que a soma delas é zero, então:
[tex3]P(x) = (x-r)(x-s)(x+r+s) [/tex3]

As raízes de Q(x) são r+4,s-3 e -r-s-1, analogamente:
[tex3]Q(x) = (x-r-4)(x-s+3)(x+r+s+1) [/tex3]

Já que os coeficientes de x são iguais (a):

[tex3]rs-r(r+s)-s(r+s) = (r+4)(s-3)-(r+4)(r+s+1)-(s-3)(r+s+1) [/tex3]
[tex3]s = \frac{5r+13}{2}[/tex3]

Além disso:
[tex3]Q(s) = (s-r-4)(3)(r+2s+1) [/tex3]
[tex3]240 = (s-r-4)(3)(r+2s+1) [/tex3]
[tex3]r^2+4r-5=0 [/tex3]
[tex3]r = 1\rightarrow s=9[/tex3]
[tex3]r=-5\rightarrow s=-6[/tex3]

Como [tex3]b=rs(-r-s) [/tex3] , então [tex3]b=330 [/tex3] ou [tex3]b=-90 [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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