Olimpíadas(AIME) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Mai 2021 04 21:35

(AIME) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Os números complexos a, b e c são os zeros de um polinômio [tex3]P(z)=z^3+qz+r[/tex3] tal que [tex3]|a|^2+|b|^2+|c|^2=250[/tex3] . Sabendo que os pontos correspondentes a, b e c no plano complexo são os vértices de um triângulo retângulo com hipotenusa h, então o valor da soma dos algarismos de h² é igual a
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
Resposta

C
Se possível, usando DIFERENÇAS FINITAS, EQUAÇÕES RECÍPROCAS E MMC/MDC DE POLINÔMIOS




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Ittalo25
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Mai 2021 05 21:57

Re: (AIME) Polinômios

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Fazendo: [tex3]\begin{cases}
a=x+yi \\
b=z+wi \\
c=l+ui
\end{cases}[/tex3]

Pelas relações de Girard: [tex3]a+b+c=0\rightarrow x+z+l = y+w+u=0[/tex3]

Pitágoras:

[tex3](x-z)^2+(y-w)^2 + (x-l)^2+(y-u)^2 = (z-l)^2+(w-u)^2 = h^2 [/tex3]
[tex3](x-z)^2+(y-w)^2 + (x-l)^2+(y-u)^2 + (z-l)^2+(w-u)^2 = 2h^2 [/tex3]
[tex3]2\cdot (x^2+y^2+z^2+w^2+l^2+u^2) -2\cdot (xz+yw+xl+yu+zl+wu )= 2h^2 [/tex3]
[tex3]2\cdot (250) -2\cdot (xz+yw+xl+yu+zl+wu )= 2h^2 [/tex3]
[tex3]2\cdot (250) - ((x+z+k)^2+(y+w+u)^2 - (x^2+y^2+z^2+w^2+l^2+u^2))= 2h^2 [/tex3]
[tex3]2\cdot (250) - (0^2+0^2 - 250)= 2h^2 [/tex3]
[tex3]\boxed{h=375} [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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