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b) 5
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Resposta
D
Olimpíadas ⇒ (China) Polinômios Tópico resolvido
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Mai 2021
04
21:25
(China) Polinômios
Sabendo que alfa e beta são os valores reais positivos de x e y que satisfazem a equação [tex3]log\left(x^3+\frac{y^3}{3}+\frac{1}{9}\right)=log(x)+log(y)[/tex3]
, então o valor da expressão [tex3]9\alpha ^2\beta ^2+3\alpha \beta +5[/tex3]
é igual a
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
D
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
D
Mai 2021
04
22:14
Re: (China) Polinômios
[tex3]log\left(x^3+\frac{y^3}{3}+\frac{1}{9}\right)=log(x)+log(y) \rightarrow 9x^3+3y^3+1 = 9xy[/tex3]
Como são reais positivos, pela desigualdade das médias:
[tex3]\frac{9x^3+3y^3+1}{3}\geq \sqrt[3]{9x^3 \cdot 3y^3 \cdot 1}[/tex3]
[tex3]9x^3+3y^3+1\geq 9xy[/tex3]
Como ocorre a igualdade: [tex3]9x^3 = 3y^3 = 1[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x=\frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} \\
y=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
\end{cases}[/tex3]
De onde: [tex3]xy = \frac{1}{3}[/tex3]
Portanto: [tex3]9\alpha ^2\beta ^2+3\alpha \beta +5 = 9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2+3\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+5 = \boxed{7}[/tex3]
Como são reais positivos, pela desigualdade das médias:
[tex3]\frac{9x^3+3y^3+1}{3}\geq \sqrt[3]{9x^3 \cdot 3y^3 \cdot 1}[/tex3]
[tex3]9x^3+3y^3+1\geq 9xy[/tex3]
Como ocorre a igualdade: [tex3]9x^3 = 3y^3 = 1[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x=\frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} \\
y=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
\end{cases}[/tex3]
De onde: [tex3]xy = \frac{1}{3}[/tex3]
Portanto: [tex3]9\alpha ^2\beta ^2+3\alpha \beta +5 = 9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2+3\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+5 = \boxed{7}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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