Olimpíadas ⇒ (Suíça) Polinômios Tópico resolvido

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Se (x1, x2, x3, x4, x5) é a única solução de números reais do sistema de equações

[tex3]\begin{cases}
2x_1=x_5^2-23 \\
4x_2=x_1^2+7 \\
6x_3=x_2^2+14 \\
8x_4=x_3^2+23 \\
10x_5=x_4^2+34
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2x_1=x_5^2-23 \\
4x_2=x_1^2+7 \\
6x_3=x_2^2+14 \\
8x_4=x_3^2+23 \\
10x_5=x_4^2+34
\end{cases}[/tex3]

Então, o valor do produto dos algarismos de [tex3]x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2[/tex3]

é igual a
a) 0
b) 24
c) 25
d) 60
e) 120

Resposta

---

C.
O jeito brutalmente trabalhoso é elevar ao quadrado, multiplicar e somar... fazer isso até o fim. Depois de muitas contas, obtemos o polinômio em x_5 que tem essas raízes e usamos Soma de Newton. Mas e sem isso?

[Ittalo25]

Se somar todas as equações:
[tex3](x_1-1)^2+(x_2-2)^2+(x_3-3)^2+(x_4-4)^2+(x_5-5)^2 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x_1-1)^2+(x_2-2)^2+(x_3-3)^2+(x_4-4)^2+(x_5-5)^2 = 0[/tex3]

e então:
[tex3]\begin{cases}
x_5=5 \\
x_4=4 \\
x_3=3 \\
x_2=2 \\
x_1=1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x_5=5 \\
x_4=4 \\
x_3=3 \\
x_2=2 \\
x_1=1
\end{cases}[/tex3]

[tex3]x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2 = \boxed{55}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2 = \boxed{55}[/tex3]