Olimpíadas(Suíça) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Autor do Tópico
Deleted User 23699
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Mai 2021 04 20:31

(Suíça) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Se (x1, x2, x3, x4, x5) é a única solução de números reais do sistema de equações

[tex3]\begin{cases}
2x_1=x_5^2-23 \\
4x_2=x_1^2+7 \\
6x_3=x_2^2+14 \\
8x_4=x_3^2+23 \\
10x_5=x_4^2+34
\end{cases}[/tex3]

Então, o valor do produto dos algarismos de [tex3]x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2[/tex3] é igual a
a) 0
b) 24
c) 25
d) 60
e) 120
Resposta

C.
O jeito brutalmente trabalhoso é elevar ao quadrado, multiplicar e somar... fazer isso até o fim. Depois de muitas contas, obtemos o polinômio em x_5 que tem essas raízes e usamos Soma de Newton. Mas e sem isso?




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Ittalo25
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Mai 2021 04 21:00

Re: (Suíça) Polinômios

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Se somar todas as equações:
[tex3](x_1-1)^2+(x_2-2)^2+(x_3-3)^2+(x_4-4)^2+(x_5-5)^2 = 0[/tex3]
e então:
[tex3]\begin{cases}
x_5=5 \\
x_4=4 \\
x_3=3 \\
x_2=2 \\
x_1=1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2 = \boxed{55}[/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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