Olimpíadas(AIME) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Zhadnyy
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(AIME) Polinômios

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Seja P(x) um polinômio quadrático de coeficientes reais tais que P(11)=181 e [tex3]x^2-2x+2\leq P(x)\leq 2x^2-4x+3[/tex3] para qualquer número real x. O valor de P(21) é:
a) 721
b) 691
c) 671
d) 621
e) 581
Resposta

A.
Encontrei que P(21) está entre 401 e 801. Isso não ajudou.
Encontrei que P(1) = 1 igualando as desigualdades.
Por fim, encontrei que P(0) está entre 2 e 3.
Daí, usando o POLINÔMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE duas vezes:
1. P(11) = 181 ; P(1) = 1 ; P(0) = 2
2. P(11) = 181 ; P(1) = 1 ; P(0) = 3
Encontrei que P(21) deve estar entre 706 e 724 (e vários decimais).
Entretanto, acredito que a solução não seja essa e sequer sei provar que existe relação entre esse polinômio que eu encontrei por Lagrange e o do problema.



"Todos os que meditaram a arte de governar os homens se convenceram de que o destino de um país depende da educação dos jovens"
Aristóteles

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Ittalo25
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Re: (AIME) Polinômios

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]x^2-2x+2\leq P(x)\leq 2x^2-4x+3[/tex3]
[tex3](x-1)^2+1 \leq P(x)\leq 2(x-1)^2+1[/tex3]
Isso mostra que [tex3]P(1) = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c = 1 [/tex3]
Também mostra que [tex3](1,1) [/tex3] é o vértice da parábola (ponto mínimo): [tex3]-\frac{b}{2a} = 1\rightarrow b = -2a[/tex3]

Então:
[tex3]\begin{cases}
11^2a+11b+c = 181 \\
a+b+c = 1 \\
b = -2a
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo:
[tex3]P(x) = \frac{9x^2}{5}-\frac{18x}{5} +\frac{14}{5}[/tex3]
[tex3]P(21) = \frac{9\cdot 21^2}{5}-\frac{18\cdot 21}{5} +\frac{14}{5} = \boxed{721}[/tex3]

Última edição: Ittalo25 (Ter 04 Mai, 2021 17:06). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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