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Olimpíadas ⇒ (MIT) Polinômios Tópico resolvido
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Mai 2021
03
16:33
(MIT) Polinômios
Existe um polinômio P de grau 5 com a seguinte propriedade: se z é um número complexo, tal que [tex3]z^5+2004z=1[/tex3]
, então [tex3]P(z^2)=0[/tex3]
. Sabendo que o quociente de P(1)/P(-1) é uma fração irredutível da forma r/s. Então, o valor de r+s é igual a
1
1
Mai 2021
03
19:34
Re: (MIT) Polinômios
Se a,b,c,d são raízes de [tex3]z^5+2004z=1[/tex3]
, então [tex3]a^2,b^2,c^2,d^2 [/tex3]
são raízes de P(x), então:
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = \frac{k \cdot (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)}{k\cdot (-1-a^2)(-1-b^2)(-1-c^2)(-1-d^2)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = \frac{ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = \frac{ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{(i-a)(i-b)(i-c)(i-d)(-i-a)(-i-b)(-i-c)(-i-d)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = \frac{(1^5+2004 \cdot 1 -1)((-1)^5-2004 -1)}{(i^5+2004i-1)((-i)^5-2004i-1)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = -\frac{2010012}{2010013}[/tex3]
Portanto: [tex3]\boxed{r+s = 1} [/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = \frac{k \cdot (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)}{k\cdot (-1-a^2)(-1-b^2)(-1-c^2)(-1-d^2)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = \frac{ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = \frac{ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{(i-a)(i-b)(i-c)(i-d)(-i-a)(-i-b)(-i-c)(-i-d)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = \frac{(1^5+2004 \cdot 1 -1)((-1)^5-2004 -1)}{(i^5+2004i-1)((-i)^5-2004i-1)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(1)}{P(-1)} = -\frac{2010012}{2010013}[/tex3]
Portanto: [tex3]\boxed{r+s = 1} [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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